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非参数回归模型,由于其回归函数的形式可以任意,而且对随机变量(X,Y)的分布限制较少,因而在实际中有着广泛的应用背景。几十年来,统计工作者对这一模型进行了深入细致的研究。无论在理论上还是应用上,都取得了许多优秀成果。
论文主要研究如下问题:设(X,Y)为R×r值r.v. , E|y|≤∞,(X<,1>,Y<,1>),(X<,2>,Y<,2>),…,(X<,n>,Y<,n>)为取自(X,Y)的i.i.d.样本,m(x)为未知实值函数,满足:Y<,i>=m(X<,i>)+ε<,i>,i-1,2,…,n,E(ε<,i>)=0,σ<2>(X<,i>)=Var(ε<,i>)<∞。
研究目标是用样本(X<,1>,Y<,1>),(X<,2>,Y<,2>),…,(X<,n>,Y<,n>)来估计m(x),并讨论m(x)的大样本性质。
针对上述模型,论文分三个部分给出了变窗宽下回归函数m(x)的核形式估计,并讨论了此估计的大样本性质。
第一部分,给出完全数据下变窗宽Nadaraya-Watson核估计,并采用一种新的方法讨论了此估计与其导数的相合性。
第二部分,引入NA序列基本概念与性质,在完全数据下给出变窗宽Priestley-Chao核估计,并用简单的方法讨论了此估计在误差为NA序列下的r阶矩相合性。
第三部分,针对一组缺失响应变量的不完全数据{(x<,i>,y<,i>,δ<,i>):i=1,2,…,n}。此处所有x<,i>是可观测的,而如果y<,i>是缺失的,则δ<,i>=0;否则,δ<,i>=1。论文基于这样一类服从任意分布的缺失响应变量的数据,利用非参数回归的统计方法,在自变量为固定设计点列下将随机缺失条件(即MAR条件)引入,对估计式进行了相应的修改,构造出变窗宽下缺失数据未知回归函数m(·)的若干加权核估计量,并在随机误差序列ε<,1>,ε<,2>,…ε<,n>分别为独立同分布和NA序列的情况下,证明了m(·)的若干估计量的大样本性质,得到了与独立情形相应的结论。