在偏微分方程的理论研究中,椭圆方程占据着十分重要的地位。椭圆方程在数学(微分几何、拟正则映照等)、物理工程(流体力学等)和生物学(种群稳定性等)等方面有着广泛的应用背景。椭圆方程各种问题解的存在性、唯一性、稳定性和正则性等是椭圆方程理论研究的重要组成部分。本文主要讨论各向异性的椭圆方程弱解的局部正则性及其障碍问题弱解的局部正则性和稳定性。第一章绪论部分介绍了椭圆方程的研究背景以及国内外研究现状,人们的研究从各向同性椭圆方程发展到各向异性椭圆方程,从方程的古典解发展到弱解再到很弱解,进而逐步研究解的性质。针对各向异性椭圆方程弱解的研究,本文提出了需要解决的问题和主要研究方法,并给出了一些尚待研究的问题。第二章主要研究了一类非线性椭圆方程-divA(x,Du)=B(x,u,Du)的Kψ,θ(pi)-障碍问题弱解的局部正则性。通过构造适合于各向异性情形的检验函数,并利用Sobolev不等式、Holder不等式以及Young不等式,得到了各向异性椭圆方程障碍问题弱解的局部正则性。第三章分为两个部分。一部分研究各向异性的A-调和方程障碍问题弱解关于障碍的稳定性。主要利用各向异性的Sobolev嵌入定理以及一些基本不等式,得到了各向异性的A-调和方程障碍问题弱解的唯一性和弱解关于障碍的稳定性。另一部分研究各向异性A-调和方程障碍问题弱解的拟最小化性质,为后续更好地研究各向异性椭圆方程的弱解奠定基础。第四章研究各向异性A-调和方程弱解的局部正则性。主要通过构造各向异性的检验函数,利用各向异性Sobolev嵌入定理以及相关引理,得到了弱解的正则性结果。