在本文中，我们将研究随机游动和Lévy过程的超出与不足的渐近性，也包括Lévy过程自身的渐近性．所谓超出，就是给定一个水平后，相应的过程在某个时刻，超过这个水平的程度．超出在许多领域内，诸如排队系统，风险理论，分支过程，无穷可分分布等，都有重要应用，值得研究．本文的应用主要集中在风险理论中．事实上，破产事件就是随机过程的超出的某个事件．周知，破产事件可能性的大小，即破产概率，是风险理论中的一个重要的研究对象．破产概率衡量了保险公司风险的大小，因此它是众多学者关注的核心问题之一．但是破产概率却不能反映破产时亏损的严重性，从而一些学者就开始更加全面准确地刻画破产时的亏损程度，也就是对破产时的超出进行全方位的探讨，如不仅估计破产概率的大小，而且给出一些平均亏损程度的刻画，即给出有关超出的矩的渐近性质．另一方面，不足则刻画了破产前的盈余程度．无疑地，上述破产时的亏损程度与破产前的盈余程度都对保险公司估计、控制和管理风险具有相当重要的理论意义和现实价值．　　 在风险理论中，为了描述复杂的客观环境，人们建立了各种风险模型．而这些模型往往是经典的更新风险模型的推广，比如在模型中，以变量间某种相依关系取代独立的关系，又比如不但考虑保险风险的影响，还考虑金融风险（利率）的影响等等．近来，一种以Lévy过程理论为基础的Lévy保险风险模型正成为人们关注的热点之一．这一模型也是风险理论中的一些模型的一般化，比如被布朗运动干扰的风险模型，被p-平稳Lévy过程干扰的风险模型等都是一般Lévy保险风险模型的特殊情形．又因为经典的更新风险模型最终可以归结为随机游动这一离散过程，而Lévy保险风险模型就是一个Lévy过程，所以本文就专门讨论随机游动和Lévy过程这两种过程的超出和不足的渐近性．　　 另外，在保险业界盛行一个大跳原理，即破产往往是由一个大跳，也就是一个大额索赔造成的(见Embrechts等(1997)[35])．因此，本文主要关注重尾索赔的情形，也就是在随机游动中我们一般假设索赔额的分布是重尾的；在Lévy保险风险模型中，则假设其对应的Lévy测度构成的分布是重尾的．重尾分布族中最重要的子族是次指数分布族或者局部次指数分布族．次指数分布族最能体现一个大跳原理，非常符合保险业的实际情况，同时它又被证明不仅是得到破产概率渐近性的充分条件，还是必要条件．因此次指数的假设是合理的．　　 最后，我们指出，因为破产时的亏损额不可能是无穷大，因而本文将主要讨论局部破产概率的渐近性．周知，对小额索赔的情形，即索赔额服从轻尾分布时，其局部分布往往与非局部（全局）分布是渐近等价的，因此，不必专门讨论轻尾索赔时的局部破产概率．但在大额索赔，即索赔额具有重尾分布时，局部破产概率往往是全局破产概率的无穷小量，换言之，保险公司防范局部风险的代价远比防范全局破产概率的代价为小．因此，局部破产概率的研究在某种程度上有更大的现实意义．　　 本文将分为如下四章．　　 在第一章，我们给出所用的一些记号，约定和概念，主要介绍随机游动，Lévy过程以及一些相关分布族及其基本性质．　　 在第二章，我们获得了关于随机游动超出和不足的某个函数φ的矩的局部和非局部渐近性的等价条件和充分条件，这里φ是一个非负的长尾函数．由强马氏性，我们发现超出与不足的矩和首次梯高对应的矩满足一些更新方程．因此，我们首先考虑首次梯高的矩的局部和非局部渐近性，继而给出了一些更新方程的解的渐近性的等价条件和充分条件，最后获得本章的主要结果．　　 在第三章，我们利用Lévy过程的轨道分解的方法，获得了带重尾Lévy测度的Lévy过程自身的一致局部渐近性．应用此结果，我们研究了有限时破产概率的一致渐近性，换言之，得到了有限时破产概率的渐近估计．从中，我们发现在被布朗运动干扰的复合泊松风险过程中，布朗运动对有限时破产概率的渐近性质没有任何影响．　　 在第四章，我们获得了带重尾Lévy测度的Lévy过程的超出和不足的一致局部渐近性．应用这些结果，获得了局部破产概率的一致渐近性．我们同样发现在被布朗运动干扰的复合泊松风险过程中，布朗运动对局部破产概率的影响也消失了．最后，我们又利用Lévy过程超出的一致渐近性，讨论了其矩的渐近性．