随机偏微分方程是源于物理、化学、生命学科等应用学科的数学分支领域，目前已成为概率论（数学）中极为活跃，并且发展迅速的分支领域之一．本博士论文由三部分组成，主要集中研究若干典型类随机偏微分方程以及相关的应用．　　 第一章我们考虑两类由高斯和非高斯噪声驱动的高阶抛物型随机偏微分方程；Calm-Hilliard方程和Kuramoto-Sivashinsky方程．确定性的Cahn-Hilliard方程(见参考文献Cahn和Hilliard[21],Novick-Cohen和Segel[78]):描述了材料科学中两相位系统的某些重要的定性特征，例如表示调幅分解，即描述当材料充分冷却时系统的一个快速分离相位．上述方程中映射f表示同步自由能量函数F（包含一个对数项）的导数．在某些情形下，F能够被一个正定系数的奇数多项式逼近．f的—个典型例子是一个立方函数，例如f(u)=u—u3．目前该方程是材料科学中一个非常重要的主题，然而，相位发展系统一般带有随机性，因此Cahn-Hilliard方程由随机噪声驱动将更加合理．Da Prato和Debussche[32]第一次将Cahn-Hilliard方程用高斯噪声随机化．我们的工作是将驱动噪声多样化，与实际扰动的表现行为更为接近．第一节的前面部分证明了由高斯和非高斯噪声驱动的随机Cahn-Hilliard方程的解的存在唯一性及其解的一些有意义的性质，例如Stroock-Varadhan特征支撑定理，不变测度，大偏差原理等．在第1.1节中，应用附录A中格林函数的估计，我们证明了由高斯空时白噪声扰动的随机Cahn-Hilliard方程的解的分布的Stroock-Varadhan特征支撑定理．在第1.2节中，我们研究了一个在诺依曼边界条件下由泊松随机测度驱动的Cahn-Hilliard方程，证明了其全局弱解的存在性和唯一性．进一步，证明了其解的李雅普诺夫函数和对应于解的转移半群的不变测度的存在性．在第1.3节中，我们研究一类由分式噪声驱动的跳类Calm-Hilliard方程，其跳部分为一个（纯跳）Levy空时白噪声．我们用不动点原理证明了在某些合适的系数条件下该方程存在局部Mild解．在证明过程中，一个需克服的困难是传统的Burkho1der-Davis-Gundy不等式并不适用于带跳的Cahn-Hilliard方程，因此我们引入一个改进的Burkholder-Davis-Gundy不等式．在第1.4节中，我们证明了由高斯空时白噪声驱动的Cahn-Hilliard方程的小扰动大偏差原理，在第1.5节中，我们考虑了一个高斯空时白噪声驱动的Cahn-Hilliard方程，研究了当白噪声消失时其解的密度的逼近行为．进一步，我们得到了其解的密度的泰勒展开多项式．最后在第1.6节中，我们考虑另一类高阶的随机微分方程：Kuramoto-Sivashinsky方程，我们证明了由补偿泊松随机测度驱动的非局部Kuramoto-Sivashinsky方程的解的存在性和唯一性．更进一步，我们得到了其解对应半群的Fellerian性质并且应用Krylov-Bogoliubov定理证明了不变测度的存在性和解的某类支撑性质．　　 与第一章的内容平行，第二章我们考虑另一类重要的随机偏微分方程：分式随机偏微分方程，近些年来分式方程越来越受到重视，其被广泛应用于图像分析，金融管理和统计力学的各种现象建模（详见[10，43，63，68，74，115，116]）．很多学者对有随机扰动的分式方程作了大量的研究工作（详见Angulo等[2]，Azerad和Mellouk[4]，Debbi和Dozzi[32]，Droniou等[42]）．在Azerad和Mellouk[4]与Debbi和Dozzi[32]中，作者证明了由高斯空时白噪声驱动的一维分式随机偏微分方程的解的存在唯—性和正则性．我们的工作是将连续的扰动（高斯噪声）推广到不连续的情形（Levy噪声）．在第2.1节中，通过应用第1.3节中提到的改进的Burkholder-Davis-Gundy不等式，我们得到了由Levy空时白噪声驱动的分式随机偏微分方程的解的存在唯一性．在第2.2节中，我们证明了由可加分式噪声驱动的分式随机偏微分方程的解的存在唯—性和正则性．更进一步，其解的绝对连续性得到了证明．在后面两节中，我们考虑两类更抽象的随机偏微分方程．在第2.3节中，我们证明了在某个希尔伯特空间中由泊松随机测度驱动的一类中立随机发展方程的Mild解的存在唯一性，并且得到了其解的Faedo-Galerkin逼近．最后我们在第2.4节中研究了由一般的Levy过程驱动的耗散随机发展方程的变分解的存在唯一性．更进一步，我们在某些合适的条件下分别得到了对应于变分解的不变测度的唯一性和其解对应的不变集的存在性．　　 第三章我们讨论一类著名的双曲类方程：波动方程．在第3.1节中，我们考虑由补偿泊松随机测度驱动的一个非线性衰减波动方程，我们证明了其全局弱解和强解的存在性和唯一性，更进一步，其解的马尔可夫性和其解对应的不变测度的存在性和支撑性质亦被证明，在接下来的第3.2节中，我们考虑一类由非高斯Levy噪声驱动的随机波动方程．解的存在唯一性的证明基于Levy过程跳的如下性质：对于只有小跳的Levy过程是—个鞅且具有任意阶矩，而Levy过程发生大跳的时间是可以从小到大依次排列，由于一般的非高斯Levy过程的高阶矩不一定存在（例如α-稳定过程），因此在讨论不变测度时我们把漂移和跳系数限定在某—个函数类中．这样在合适的稳定性假设条件下，我们证明该方程解半群对应的不变测度是存在唯一的．　　 本文结尾我们列出了近期考虑的几个研究主题。首先，我们考虑一类由补偿泊松随机测度驱动的非局部Kuramoto-Sivashinsky方程的解的长时间行为，研究其解的某类指数稳定性．受第1.1节中的结果启发，我们期望得到在平面上由随机泊松测度驱动的一个随机双曲方程的Stroock-Varadhan特征支撑定理．最后基于第3.1节中的结论，一个值得关注的问题是由补偿泊松随机测度驱动的随机波动方程的解半群对应的不变测度的唯—性．