非线性现象是自然界的普遍现象，非线性问题是自然科学及工程领域的普遍问题，这就决定了研究非线性微分系统的重要性.　　对于微分方程周期边值问题或Dirichlet边值问题，前辈们已经有了许多非常深刻的研究([1]-[8]).李永祥在文献[1，2，3]中分别研究了四阶及高阶微分方程在周期边界条件或Dirichlet边界条件下正解的存在性.然而，由于研究计算相对困难，很少有人专注研究微分方程Neumann边值问题.微分方程Neumann边值问题仍然是一个值得研究的课题，因而我们的选题有一定的创新.　　本文主要研究如下的2m阶微分方程Neumann边值问题｛L2mu=f(t，u)，t∈[0，1]，(1.1.1)u(2j-1)(0)=u(2j-1)(1)=0,j=1,2，...，m对应的正解，负解和变号解的存在性，其中L2mu=(-1)mu(2m)+m∑j=1(-1)m-jam-ju（2（m-j)）是一2m阶线性微分算子，a0≠0，aj∈R，j=1，2，…，m-1，且m∈N.在文献[4],Li，Zhang，Li只对问题(1.1.1)在m=2，a0=a1=1的情形下得到变号解的存在性，本文就是对其的扩充延伸.因此，我们的研究内容具有一定的创新性.　　本文首先利用拓扑度理论和不动点指数理论([9，10])来研究问题(1.1.1)正解的存在性.进一步，综合利用不动点指数理论，临界群和Morse理论([11，12，13])等来研究，当非线性项分别在共振和不共振情况下，Neumann边值问题(1.1.1)多解和变号解的存在性问题.因此，我们的研究方法具有一定的创新性.　　记p2m为算子L2m的特征多项式，N(p2m)为多项式p2m在复平面C上的零点集.简记f0=limx→0+supmaxt∈[0,1]f(t,x)/x,f0=lim inf x→0+ mint∈[0,1]f(t,x)/x,f∞=lim supx→∞ t∈[0,1]f(t，x)/x，f∞=liminfx→∞min t∈[0,1]f(t,x)/x.　　本文的主要结论如下:　　定理1.3.1设a0＞0且f∈C（[0,1]×R+，R+）.假设N(p2m)(∈){z∈C:|Imz|＜π/2}.(H0)若下列条件之一成立:　　(i) f0＜a0＜ f∞;　　(ii) f∞＜ a0＜f0.则边值问题(1.1.1)至少有一个正解.　　定理2.2.1设条件(H0)成立，且满足　　(f1)f∈C1（[0，1]×R，R）且f(t，x)x≥0对一切(t，x)∈[0,1]×R成立;　　(f2)存在两个正整数n0，n∞，使得μ2n0-1＜α0＜μ2n0,μ2n∞-1＜α∞＜μ2n∞,其中α0=limx→0f(t，x)/x，α∞=lim|x|→∞f(t，x)/x对t∈[0，1]一致成立;　　(f3)存在正常数T＞0，使得|f(t，x)|＜a0T，t∈[0，1]，|x|≤T;则问题(1.1.1)至少有六个不同的非平凡解:两个正解，两个负解和两个变号解.　　定理2.2.2设条件(H0)，(f1)-(f3)成立，且满足　　(f4)f关于变量x是奇的，即f(t，x)=-f(t，x)，(t，x)∈[0，1]×R，则边值问题(1.1.1)至少有八个不同的非平凡解:两个正解，两个负解和四个变号解.　　定理3.2.1设条件(H0)，(f1)，(f3)成立，且满足　　(f5)fx(t，0)=μ2n0对于满足μ2n0-1＜μ2n0的某个n0≥1及所有的t∈[0，1]成立，而且，存在δ＞0，使得f(t，x)x≤μ2n0x2对所有(t，x)∈[0，1]×[-δ，δ]成立;　　(f6)存在满足μ2n∞-1＜μ2n∞的n∞≥1，C1＞0及α∈(0，1)，使得lim|x|→∞f(t，x)/x=μ2n∞对t∈[0，1]一致存在，且|f(t,x)-μ2n∞x|≤C1(1+|x|α),(t,x)∈[0,1]×R,lim|y|→∞1/|y|2α∫y0y（f（s，x）-μ2n∞x）dx=∞对t∈[0，1]一致成立，其中F(t，x)=∫x0f(t，y)dy.则边值问题(1.1.1)至少有六个非平凡解.此外，若边值问题(1.1.1)的解只有有限多个，则它们是两个正解，两个负解和两个变号解.　　定理3.2.2设条件(H0)，(f1)及(f3)-(f6)成立.则边值问题(1.1.1)至少有八个不同的非平凡解.此外，若边值问题(1.1.1)的解只有有限多个，则它们是两个正解，两个负解和四个变号解.