【摘 要】
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本文研究以下两类非线性波动方程 utt-βuxx+γut+α1u+α3u3=0 (Ⅰ) utt-βuxx+γut+α1u+α3u3+α5u5=0 (Ⅱ) 有界行波解的存在性
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本文研究以下两类非线性波动方程 utt-βuxx+γut+α1u+α3u3=0 (Ⅰ) utt-βuxx+γut+α1u+α3u3+α5u5=0 (Ⅱ) 有界行波解的存在性、性态和求解问题. 首先,我们利用平面动力系统理论将方程(Ⅰ)和(Ⅱ)有界行波解的研究分别转化为与其相对应的两个平面动力系统的研究,并对这两个平面动力系统作了详细的定性分析.根据定性分析结果,分别给出了方程(Ⅰ)和(Ⅱ)系数满足不同条件下的全局相图,以及方程(Ⅰ)和(Ⅱ)的所有有界行波解存在的条件.我们分别讨论了随着方程(Ⅰ)和(Ⅱ)中耗散系数γ的变化,方程(Ⅰ)和(Ⅱ)有界行波解性态的变化.我们给出了表征耗散作用大小的临界值或取值区间,同时指出了耗散系数在什么范围变化时,方程(I)和(Ⅱ)会出现钟状孤波解、扭状孤波解或衰减振荡解.进一步,我们利用假设待定法,求出了方程(Ⅰ)和(Ⅱ)在不同条件下钟状孤波解和扭状孤波解的精确表达式.对于衰减振荡解,由于其结构复杂,不容易求出其精确表达式.然而,文中我们根据衰减振荡解对应的解轨线在相图中的演化关系,并利用定性分析的有关结果和假设待定法,分别求出了方程(Ⅰ)和(Ⅱ)的衰减振荡解的近似表达式.最后,我们根据齐次化原理的思想建立了反映衰减振荡解近似解和相应精确解间关系的积分方程,得到了方程(Ⅰ)和(Ⅱ)衰减振荡解的近似解与真解间的误差估计.从误差估计的表达式可以看出,用本文方法求出的方程(Ⅰ)和(Ⅱ)的衰减振荡解的近似解与相应的精确解的误差是以指数形式速降的无穷小量.
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