二十世纪以来,带延迟的常微分方程或偏微分方程在经济学、生物学、生态学、医学、物理学和流体动力学等科学领域中有着广泛的应用。因此研究其定性理论和数值方法都有着极其重要的意义。考虑到存在不同类型的延迟——常延迟、时变延迟、有限时间连续分布型延迟和无限时间连续分布型延迟,本文分别研究了中立型延迟积分微分方程、带时变延迟和无限时间连续分布型延迟的混合BAM神经网络模型、带扩散效应和混合延迟的BAM神经网络模型以及带常延迟和有限时间连续分布型延迟的对流反应扩散方程的动力学行为。另外,本文分别构造了求解中立型延迟积分微分方程和延迟对流反应扩散方程的数值方法,并证明了所给出的数值方法都可以保持连续系统的动力学行为。本文的主要研究内容包括以下五个方面:一、本文证明了一个Halanay不等式定理,并利用其给出了一类中立型延迟积分微分方程的延迟依赖耗散性准则。结合单支θ-方法和复合梯形法则构造了求解中立型延迟积分微分方程的数值方法,并证明了当θ∈(1/2,1]时,单支θ-方法能够保持中立型延迟积分微分方程的耗散性。再将复合梯形法则与线性θ-方法相结合来构造求解中立型延迟积分微分方程的数值方法,并利用单支方法和线性多步法之间的关系直接得到线性θ-方法的耗散性。二、本文分别利用新的Halanay型不等式定理、Lyapunov泛函理论和线性矩阵不等式等技巧给出了一类带时变延迟和无限时间连续分布型延迟的BAM神经网络模型具有全局耗散性和全局指数耗散性的充分条件。同时对所研究模型的正不变的全局吸引集和全局指数吸引集进行了估计。最后,利用Matlab线性矩阵不等式工具箱容易检验所得到的充分条件是有效的。三、本文研究了一类带扩散效应的混合延迟BAM神经网络模型平衡点的存在性和全局渐近稳定性。当传输函数仅仅满足全局Lipschitz连续条件时,利用度理论和新的线性矩阵不等式得到了BAM神经网络模型存在平衡点的充分条件。然后通过构造新的Lyapunov泛函进一步得到了平衡点的全局渐近稳定性。本文去掉了之前文献中传输函数需要具有有界性和单调性这一限制,且以新颖的线性矩阵不等式形式给出所需要的充分条件,从而容易利用Matlab线性矩阵不等式工具箱进行验证。四、对于一类带Dirichlet边界条件的延迟对流反应扩散方程,本文给出了其在L2范数意义下具有耗散性的充分条件。将二阶中心差商算子、复合求积公式分别与线性θ-方法和单支θ-方法相结合来构造新的求解延迟对流反应扩散方程的线性θ-方法和单支θ-方法,并证明了,当θ∈[1/2,1]时,所给出的数值方法都可以保持延迟对流反应扩散方程的耗散性。五、本文研究了一类非Fickian延迟对流反应扩散方程的能量估计、耗散性、渐近稳定性和收缩性。通过构造新的能量函数分析了非Fickian延迟对流反应扩散方程在L2范数意义下的能量估计,从而进一步得到了方程的耗散性、渐近稳定性和收缩性。结合二阶中心差商算子、右矩形法则和向后Euler公式构造了一类求解非Fickian延迟对流反应扩散方程的数值方法,并证明了此数值方法可以保持连续系统的渐近稳定性和收缩性。