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微分方程是描述与刻画物理过程、系统状态、社会与生物现象的有力工具。我们通常所研究和应用的微分方程多是常微分方程(ODEs)。而在许多现实模型中,我们需要知道系统过去时刻的状态,这就形成了延迟微分方程(DDEs)。延迟微分方程在自然界中是普遍存在的,它是泛函微分方程的一个重要分支,它在种群的繁殖、人口的增长、电力网络中的能量损耗、神经网络等领域中常常被使用到。作为重要的数学模型,延迟微分方程在物理学、生物学、控制科学等很多领域中也有着广泛的应用,对实际问题的描述更精细。但是只有非常少的延迟微分方程可以获得解析解的表达式,绝大部分延迟微分方程真解的显式表达难以获得,所以数值求解延迟微分方程并研究数值方法的收敛性与稳定性既有理论意义又有实际价值。 文中系统地研究了几类线性与非线性延迟微分方程及数值方法,给出收敛性和稳定性结论。首先研究了线性延迟微分方程隐–显式线性多步法的稳定性,分别讨论了隐–显式 Euler方法和隐–显式 BDF方法的P-稳定性。给出数值方法稳定区域的一种新的刻画方法,并通过数值算例验证了这种刻画方法的可行性。构造了使得线性中立型多延迟积分微分代数方程(NMDIDAEs)解析解渐近稳定的充分条件并给出证明,刻画了二步 Runge-Kutta方法(TSRK)的稳定区域,最后构造了中立型多延迟积分微分代数方程二步 Runge-Kutta方法渐近稳定的充分条件。 对于非线性延迟微分方程,给出叠加 Runge-Kutta方法(ARK) GDN-稳定、强代数稳定的定义,研究多延迟微分方程(MDDEs)叠加 Runge-Kutta方法的收敛性与稳定性,证明了若多延迟微分方程叠加 Runge-Kutta方法是强代数稳定的,则相应的插值型叠加 Runge-Kutta方法(ARKLM)是GDN-稳定的,并指出若插值型叠加 Runge-Kutta方法的级阶为p,且是DA-, DAS-及ASI-稳定的,那么该数值方法是D-收敛的,且收敛阶为min{+qp.进一步的,,}1研究了多延迟积分微分方程(MDIDEs)叠加 Runge-Kutta方法的非线性稳定性和D-收敛性,得出类似结论。对于非线性中立型延迟微分方程(NNDDEs)、非线性 Volterra延迟积分微分方程(NVDIDEs)和非线性中立型 Volterra延迟积分微分方程(NNVDIDEs),本文研究了一般线性方法的D-收敛性。给出数值方法D-收敛、代数稳定、对角稳定的定义,指出若一般线性方法是代数稳定的和对角稳定的,其一般级阶为p,则在插值过程下,一般线性方法数值求解非线性中立型延迟微分方程、非线性 Volterra延迟积分微分方程和非线性中立型