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本论文主要研究了分形几何中的三个方面问题。论文的第一部分,即第三章,研究广义Cantor集关于加倍测度的胖性和瘦性。Buckley, Hanson和MacManus [8]研究了中间区间Cantor集关于加倍测度的胖性和瘦性,给出了判定中间区间Cantor集关于加倍测度是胖集和瘦集的充要条件。进一步,Han, Wang(?)Wen [36], Peng和Wen[81]刻画了齐次Cantor集关于加倍测度的胖性和瘦性。注意到,无论是中间区间Cantor集还是齐次Cantor集,它们的结构都有很强的对称性,其同阶基本区间和间隔的长度相等。对于一般的Moran集,关于加倍测度的胖性和瘦性的刻画是困难的。本文考虑的广义Cantor集,其基本区间和间隔的长度可不同,我们引入了(αk)-正则,好的和相当好的概念,分别在这些条件下,给出了广义Cantor集关于加倍测度的胖性和瘦性刻画。论文的第二部分,即第四章,研究了Borel测度的关联维数。测度关联维数的概念由Procaccia, Grassberger和Hentschel [82]于1982年引入。测度的关联维数是通过能量表示,在随机动力系统中应用广泛。本文考虑度量空间中Borel测度的关联维数。首先,用积分形式和离散形式分别刻画了测度的关联维数,其离散形式表明测度的关联维数和测度的L2-谱是相等的；然后,研究了测度的关联维数和测度的Hausdorff维数之间的关系,并给出了判定二者相等的一个充分条件；最后,指出测度的关联维数是拟-Lipschitz不变量。论文的第三部分,即第五章,研究了Moran结构集上测度的局部维数。对于自相似集上的自相似测度,Geronimo和Hardin [31]在强分离条件下证明了其局部维数几乎处处为一个常数。Strichartz [93]则将这个结果推广到开集条件。进一步,Cawley和Mauldin [9]研究了一类特殊Moran集上的Moran测度,在这类Moran集在构造中,逐阶压缩映射个数和压缩比不变,他们在强分离条件下给出了这类Moran测度在几乎处处意义下局部维数的公式。Lou和Wu[67]研究了一类更广的Moran集上的Moran测度的局部维数,在该类Moran集的构造中,逐阶压缩映射个数和压缩比均不同,她们在强分离条件下给出了这类Moran测度在几乎处处意义下局部维数的公式。后来,Li和Wu[63]将这一结果推广到开集条件。本文第五章考虑了更一般的Moran结构集,在更弱的分离性条件下,我们给出了Moran结构集上测度的下、上局部维数的刻画。因此,本文研究的Moran结构集上测度的局部维数结果无论是从研究对象上还是条件上都在一定程度上推广了前述结果。