在点集拓扑学中，导集是拓扑空间中的一个重要概念，对于它的基本性质以及它与其他概念之间的联系已经被深入探讨，导集一般有两种不同形式的定义，其中一种是通过闭包来定义的．通过对点集拓扑学中的基本概念及相互关系深入的研究，借助对偶范畴的思想和方法，本文首先在拓扑空间中引入了内导集的定义，对其基本性质及与其他概念之间的联系进行了探讨．内导集的提出不仅提供了一种定义拓扑的方式，而且它为研究拓扑空间的各种性质提供了一个新的途径；在内导集的基础上提出了关联子集的概念，作为内导集与关联子集的应用得到了不连通空间的几个等价刻画．另外，本文通过对FI代数上所定义的（?），⊥运算的深入研究给出了DFI代数（分配的FI代数）的定义，证明了DFI代数一定为正则的FI代数，BL代数，并分别举例说明了逆命题的不成立性，另外还得到了FI代数成为Boole代数的几个充要条件，并对Boole代数上的逻辑度量结构进行了阐述；最后，分别在MV单位区间、R0单位区间、标准G代数和标准乘积代数上分别建立了逻辑度量ρL,ρ0,ρG,ρπ，从而（[0，1]，ρL），（[0，1],ρ0），（[0，1]，ρG），（[0，1]，ρπ）成为逻辑度量空间，文中验证了ρL为通常度量，并对其他三个度量的性质进行了详细探讨，最后应用拓扑学知识对其逻辑度量空间的具体结构进行了探究，并得到一些好的结果．论文要点及主要内容如下：一、预备知识．第1、2节主要介绍了点集拓扑学和逻辑代数中的基本概念和结论，第3节阐述了导集的一些基本性质，并论述了利用导集定义拓扑的方式．另外，在孤立点集定义的基础上提出了扩展孤立点集，得到了定义拓扑的又一种方式．二、内导集及其应用．通过对点集拓扑学中的基本概念及相互关系深入的研究，借助对偶范畴的思想和方法，在点集拓扑学中引入了内导集概念，并以内导集概念为基础引入了关联子集的概念，对它的基本性质以及和其它概念的关系进行了初步探讨，取得了一些较好的结果．最后，作为内导集、关联子集的应用给出了不连通空间的几个等价刻画．三、逻辑代数上的逻辑度量结构．首先通过对FI代数上所定义的（?），⊥运算的深入研究给出了DFI代数（分配的FI代数）的定义，讨论了其性质，并得到了Boole代数的几个等价形式，并对Boole代数上的逻辑度量结构进行了阐述；紧接着在MV单位区间、R0单位区间、标准G代数和标准乘积代数上分别建立了逻辑度量ρL,ρ0,ρG,ρπ，从而（[0，1]，ρL），（[0，1]，ρ0），（[0，1]，ρG），（[0，1]，ρπ）成为逻辑度量空间，最后利用拓扑学的知识对其逻辑度量空间的结构进行了详细的研究，并得到了一些好的结果．