凸几何作为现代几何学的一个重要分支,它以凸体和星体为主要研究对象,以Lp?Brunn-Minkowski理论作为凸体理论的核心.本文一方面利用Lp?Brunn-Minkowski理论的基本知识和方法对该理论中的某些基础理论进行了研究;另一方面利用Fourier变换和Minkowski-Funk变换方法,对经典投影体和Lp?混合投影体的拟Shephard问题做了进一步的研究。本文的主要研究工作分为以下几个方面:　　(1) Lutwak在1988年首次提出了相交体的概念. Haberl和Ludwig于2005年推广了经典相交体的概念,提出了Lp?相交体.本文引入了广义相交体的概念,并运用Lp-Brunn-Minkowski理论, H¨older积分不等式和Minkowski积分不等式,对广义相交体的单调性进行了研究;建立了若干关于径向线性组合和Lp?调和Blaschke组合的Brunn-Minkowski不等式。　　(2)上世纪初,Minkowski引进了Rn中凸体K的经典投影体ΠK的概念,结合经典仿射表面积的概念,我们利用Fourier分析方法研究了凸体的Brunn-Minkowski-Firey理论中的某些问题,解决了凸体的投影体的拟Shephard问题.　　(3)根据Lutwak, Yang和Zhang引进的Rn中凸体K的Lp?投影体ΠpK的概念,我们引入了Rn中凸体K的Lp?混合投影体Πp,iK,Rn中凸体K的i-型Lp?仿射表面积?(i)p(K)和Lp?混合曲率函数fp,i(K,·)的概念,并运用Minkowski-Funk变换刻画了凸体的Lp?混合投影体的支撑函数,给出了关于Lp?混合投影体的拟Shephard问题的一般解。