有限元法是科学研究和工程设计领域中的一种求解偏微分方程的数值计算方法.在运用有限元法进行近似计算时,我们总是希望近似解尽可能精确,同时计算成本又尽可能低.多网格离散和自适应算法是实现这一目标的高效有限元方法.多网格方案把细网格上特征值问题的解归结为在粗网格上解一个特征值问题,以及在越来越细的网格上求解一系列线性代数系统,并且解仍然保持渐进最优精度.因为主要的计算工作是求解代数方程组,因此多网格方法提高了求解特征值问题的效率.自适应有限元法由于其自动的网格细化过程,在实际有限元计算中具有广泛的应用前景.在许多物理和工程应用中都出现了弹性问题,其中,线弹性特征值问题的数值逼近对不同弹性结构在实际应用中的稳定性尤其重要,比如板和梁等都取决于弹性结构的振动模式的准确知识.因弹性特征值问题的准确值是未知的,它的高效数值方法的研究是一个热门课题.本论文主要研究线弹性特征值问题和反散射中弹性波传输特征值问题的协调和非协调有限元法,以及多网格离散和自适应方案,主要内容如下:对带有纯位移边界的线弹性特征值问题,首先,建立了非协调Crouzeix-Raviart（CR）有限元离散,证明了该方案是无闭锁的,高效的.此外,建立了一个多水平校正方案;其次,在建立的非协调CR有限元离散的基础上,分析线弹性特征值问题残差型的后验误差估计,证明了指示子的可靠性和有效性,并建立自适应方案;最后,利用Poincaré不等式,得到了线弹性特征值问题的可保证下界.对带有纯迹边界的线弹性特征值问题,经典的非协调CR有限元求解此问题是不稳定的.为解决这个问题,做了如下工作:首先在双线性形式上增加项∫Ωu·vdx,数值结果表明CR元仍然是不稳定的.因此通过增加两个稳定项引入两种新的稳定化方法.理论分析和数值实验表明,增加两个稳定项以后用CR元求带有纯迹边界的线弹性特征值问题是稳定的.对Hellinger-Reissner弹性混合问题,建立一个无闭锁的基于移位反迭代的二网格离散方案.对大Lamé参数λ进行数值试验,数值结果表明方案是无闭锁的.对反散射中弹性波传输特征值问题,分析了 H2协调有限元后验误差估计.因应力张量σ（u）中含有Lamé参数μ和λ,应用泡泡函数技巧通过复杂的分析完成误差指示子的可靠性和有效性的证明.最后,对较大的Lamé参数λ进行数值试验.对修改的弹性波传输特征值问题,其弱形式中双线性形式是非强制的.首先,分析了弹性传输问题的适定性,并利用Aubin-Nitsche技巧证明了有限元法的一个先验误差估计.之后利用Babuska-Osborn理论完成了修改的弹性传输特征值问题的有限元误差分析.最后给出了数值实验.