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浅水波方程在地球大气，海洋，环境及水利工程．清洁能源的开发利用等领域中有广泛应用，例如海啸和风暴潮的预报，沉积物和污染物的运移，河口和近海水域的潮汐能捕捉等．近三十年来，由于基于无结构网格的有限元方法可以很容易地处理复杂几何问题，因此其在浅水波问题的数值研究中得到了快速发展．最近的一些进展有特征Galekin有限元．非线性Galerkin有限元．局部间断Galerkin有限元，最小二乘有限元．时空间断有限元等．
本文中，我们主要研究二维深度平均浅水波方程组的两种Galerkin有限元解法，包括MMOCAA-Galerkin方法以及间断Galerkin与连续Galerkin耦合方法．
MMOC(特征线修正方法)是一种基于特征线的时间步长方法．其核心是将时间导数与对流项合并成沿特征方向的方向导数．与标准时间步长方法相比．MMOC在相同精度下容许更大的时间步长，并且能够消除过多的非物理震荡和数值弥散．但可惜的是，MMOC并不能保持质量守恒．为了消除MMOC中的质量平衡误差，Douglas等([25，26])提出了MMOC的一个变形-MMOCAA(调整对流的修正特征线方法)．通过在特征点施加高阶扰动．MMOCAA不仅保持了所期望的守恒性。而且也保持了MMOC概念上和计算上的优势．在本文第3章．我们给出了二维浅水波方程的MMOCAA-Galerkin构造，并得到了速度和水高在l∞((0，T)；L2(Ω))范数下的次优阶误差估计，以及速度在l2((0，T)；H1(Ω))范数下O(hl+Δt)形式的最优阶估计．这些估计与MMOC-Galerkin构造(Dawson等[19])的精度是相同的．而且，算法分析表明，该格式以较小的额外计算量改善了全局质量守恒．
间断Galerkin方法有很多良好性能．如融合稳定高阶逼近的能力，关于hp自适应的灵活性以及局部守恒性。但是，与连续Galerkin方法相比，间断Galerkin方法的计算量却大很多．最近，Dawson等([20-22.38])针对浅水波方程研究了间断Galerkin与连续Galerkin的耦合方法．其基本想法(见[21])是在解的陡峭前沿处或者在局部守恒比较重要的地方应用间断Galerkin方法，在解相对光滑处应用连续Galerkin方法．以兼顾效率与性能．在本文的第4章．我们将文献[20]中的耦合方法应用于更为复杂的浅水波系统，主要增加了非线性对流项和外部力的分析．所采取的耦合策略是，对原始连续方程应用间断Galerkin方法．对非守恒动量方程应用连续Galerkin方法．