对于微分方程的研究，解的存在和唯一性具有基础性的意义。其中，关于非线性微分方程有无解，解是否存在和唯一，解的稳定性如何，一直是微分方程研究的热点。其研究方法有变分方法，全局同胚方法，算子半群方法等等，而Hilbert空间方法作为一种重要而且具有创见性的方法引起了很多学者的兴趣。本文中作者运用Hilbert空间方法讨论了两类半线性微分方程的解的存在唯一性。论文的第一部分，首先运用Sobolev嵌入定理和Schauder不动点定理，在建立了具有有限网格特征值的问题的Hilbert空间方法的基础上考虑了一类半线性算子方程解的存在性。然后将此类方法应用于特定的常微分方程得出了解的存在和唯一性。论文的第二部分，对满足非共振条件的二阶双曲型方程运用Galerkin逼近原理进行了讨论。在有限维的情况下运用极大极小原理证明了一类近似方程解的存在性，然后给出了近似解的先验估计。最后通过Schauder不动点定理，证明了双曲型微分方程组周期弱解的存在性。