在数论中，二次空间的表示数非常重要。在这篇文章中，只考虑定义在有理数域Q上的四元数代数上的问题。　　令D是一个无平方因子的正整数，B=B(D)是相应的一个四元数代数。这个空间的即约范数det决定了其二次形式.对于一个和D互素的正整数N，OD(N)为B中一个导子为N的Eichlerorder。当B正定时，对于格L=(OD(N)，det)，表示数（对于正整数m）rL(m)=|{x∈OD(N): detx=m}|.的计算是一个非常有意思但是很困难的问题。　　另一方面，对于genus gen(L)上的平均值rD,N(m)=rgen(L)(m)=(∑L1(ε)gen(L)1/|Aut(L1)|)-1∑L1(ε)gen(L) rL1(m)/|Aut(L1)|,可以表示为局部密度的乘积。这是由Siegel1930年的工作[Si]给出的。这些局部密度可以计算（例如[Ya1]）。　　平均表示数rD,N与模形式的系数密切相关。利用Kudla的配对原理([Ku2]，Chapter1)和Siegel-Weil公式([KR1])，对于正定四无数代数我们将证明一些很有意思的关于平均表示数的等式;对于不定四元数代数我们将证明一些关于Shimura曲线上Hecke correspondences次数的一些等式。　　迄今为止在空间M2(Q)上没有Siegel-Weil公式，我们将在Chapter4证明一些特殊情况。利用这些结果还有Kudla配对原理我们把rD,N转化成在空间M2(Q)的计算。