线性系统的同时镇定问题是系统与控制理论中的基本问题，有着重要的理论意义和广泛的应用价值。为揭示同时镇定问题的复杂性，学者们提出了若干公开问题。这些问题表述非常简单，实际解决起来却异常困难，而对这些公开问题的探讨对于系统与控制理论的研究具有深远意义。　　 在本论文的第一部分，主要针对线性系统同时镇定中的若干问题进行系统地研究，具体内容如下：　　 首先，简要回顾了同时镇定问题的研究状况，并对若于公开问题给出基本的描述。　　 其次，借助杨路等人新近发展的不等式型定理机器证明的理论与方法，研究了线性系统同时镇定中著名的比利时巧克力问题和法国香槟问题。对比利时巧克力问题，系统地给出了当线性控制器阶次不超过四阶时解的分布，以及相应的控制器数值算例，改进了已有文献中的结果，并根据得到的结果，提出了限定控制器阶次条件下该问题解分布的两个猜想。针对法国香槟问题较为系统地给出了当控制器阶次不超过三阶时解的分布，以及相应的控制器数值算例，改进了已有文献中的结果。　　 另外，结合Nehari给出的复分析理论结果，讨论了Blondel关于三个线性对象同时镇定问题非有理可决定性讨论中一处重要定理证明存在的缺陷。　　 在本论文的第二部分中，讨论了一类阶次较高的三角函数全局优化问题。针对杨路提出的一个15次三角函数在一定约束下全局最大值的公开问题，基于理论上的推导，借助新近发展的不等式机器证明程序包BOTTEMA中全局优化的解决方法，完全地给出了问题的解答。类似的方法还可以使目前所能够解决的此类问题阶次进一步提高。