自Lorenz利用数值模拟的方法首次发现混沌吸引子以来,一些经典的Lorenz型系统掀起了混沌的研究热潮.与混沌系统相比较,具有两个正的Lyapunov指数的超混沌系统在结构与性质上呈现出更复杂的动力学.1979年R¨ossler首次在仅具有一个非线性项的4D系统中发现了超混沌吸引子,此后一些重要的4D超混沌系统在Chua电路、Lorenz-Haken系统及Lorenz型系统中被发现.这些混沌或超混沌系统在生物神经网络、非线性电路、保密通讯、图像加密、工程应用上有着重要的研究前景与价值.本文的研究内容主要为:第一章绪论,介绍混沌的发展简史,即混沌的起源、研究背景、研究意义;引入混沌或超混沌的相关理论方法;简单介绍一些经典的超混沌系统,并了解超混沌系统的研究现状.第二章研究了具有一个或三个孤立平衡点,一条平衡点曲线或两条平衡点直线的4D超混沌系统的复杂动力学.本文在Lorenz型系统的基础上,增加反馈控制及变量变换获得一个4D超混沌系统.进一步,研究平衡点的存在性与稳定性,在每一类平衡点附近数值模拟了超混沌吸引子的存在性.最后,变化参数值数值模拟系统从周期-超混沌-混沌的复杂动力学.第三章分析了叉形分岔、Hopf分岔、zero-Hopf分岔三种局部分岔.利用中心流形定理研究非双曲平衡点的叉形分岔并分析其稳定性.借助分岔理论分析Hopf分岔分支出极限环的稳定性,并数值模拟验证结论.通过平均理论研究zero-Hopf分岔的存在性,并扰动参数值获得从周期-拟周期-混沌-超混沌的路径.这对研究混沌及超混沌的复杂结构与形成机理有着重要意义.第四章研究了三种不同类型无穷多个奇异退化异宿环的存在性,奇异退化异宿环的共存且分析了超混沌吸引子的最终有界.值得关注的是,通过平衡点的类型及不稳定流形的不同维数可以把奇异退化异宿环区分为不同的类型.改变参数的值,奇异退化异宿环破裂,退化成一个鞍焦点,并且周期、混沌、超混沌等复杂动力学出现.利用构造Lyapunov函数与最优化理论相结合的方法严格证明了超混沌系统的全局有界性.最终有界集不仅对超混沌吸引子的位置和边界进行精确刻画,而且对理解吸引子的结构十分重要.第五章数值模拟了五种类型的吸引子共存分别为:两个周期吸引子、两个拟周期吸引子、两个混沌吸引子、周期与拟周期吸引子、周期与混沌吸引子共存,吸引子共存使系统呈现出复杂性与多重稳定性.对于研究吸引子共存的理论方法还不成熟,但利用数值模拟的方法展示超混沌系统的复杂性具有深远意义.