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本文分两个相互独立的部分。第一部分给出了高阶(2n阶)奇异实对称微分算子M的亏指数d(M)与一类带初值条件的方程Pm解的存在唯一性之间的一个充要关系，即d(M)≤m的充要条件是问题Pm的解存在且唯一，其中(n≤m≤2n)，等号成立当且仅当M为极限点型。从这个关系可以看出，只要该问题Pm的解存在且唯一就可以知道对应的微分算子M的亏指数小于等于方程中所带边条件的个数。
本文的第二部分给出了一定条件下n维欧氏空间中有界光滑凸区域Ω上作用在L2(Ω)上的带Dirichlet边条件的Schrodinger算子H=-△+W(x)第一特征值下界的最佳估计，即λ1≥π2/d2，其中d为Ω的直径，W为非负势函数。并且利用Rayleigh原理计算了一维情形下当势函数取为某些具有物理意义的特定函数时相应λ1的近似值。