连杆机构是机械系统组成中一类由连杆构件用低副联接组成的构件系统。它的主要功能是可用来传递运动和力。连杆机构由于具有一些特定的优势,如构件和铰链形式均较为简单、承载能力强、可靠性好、可实现多样化空间复杂运动等,在机械、汽车、仪器等领域中得到了广泛应用。而桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的平面或空间结构,它一般是由稳定的三角形或四面体单元组成。桁架的主要功能是通过杆件在轴向受拉或受压来承受结点处的外载荷。由于结构简单、成本低、以较小的自重提供较大刚度等优点,桁架结构广泛应用于工程结构、建筑材料等各个领域。虽然机构和结构的主要功能有所不同,但它们并不是两个完全不相关的概念。一方面,当锁定机构的所有的输入参数时,机构可以被看作是具有一定承载能力的结构。另一方面,工程中也存在一些力静定或静不定的可运动的结构,在机构学中,这两种结构分别看作是一般机构和过约束机构。结构侧重于对稳定性和力学特征的分析,而机构则倾向于对自由度和运动特性的研究。经历着近200年的发展,现代机构运动学已经形成了一些较为成熟的研究理论和方法,如矩阵方法、旋量理论、李群李代数等。但是,这些理论和方法难以有效地解决复杂的空间机构的运动学问题。如空间过约束机构由于具有复杂的几何关系,其自由度计算常常需要进行特殊修正。同时,空间多环路机构的复杂拓扑环路关系使运动学分析更为困难。特别是空间多环路机构的运动轨迹解析分析仍是当前机构学的难点之一。桁架结构可以被认为是由杆件通过球副连接而成的多环路结构。在结构中,通常采用包含了几何和拓扑信息的平衡矩阵来分析桁架的结构特性。因为这个过程无需单独考虑桁架的具体拓扑环路关系,该方法有潜力应用于空间复杂机构的运动学分析。因此,本文的研究目的是将三维空间机构转换为与其等价的桁架形式,通过桁架理论与方法对复杂空间过约束机构的运动学特性进行分析,并以此为工具设计具有折展功能的可变多面体结构。本文首先提出一套将连杆机构转换为与其等价桁架形式的通用方法,并验证该方法的有效性;其次,采用该方法识别并去除空间过约束机构中冗余约束,得到过约束机构的非过约束形式;最后,应用桁架转换方法中的自由度计算、运动轨迹预测以及分叉点的判断等方法,得到了三组可单自由度变换的多面体。具体工作包括如下五个部分:·桁架方法本文第二章提出了一种将空间连杆机构转换为与其等价的桁架结构的方法。基于该方法,可将桁架中关于运动分析的理论和方法引入到机构运动特性的分析中。该方法为具有复杂拓扑关系机构的运动学分析开辟了一条新途径。将直线视为杆件、结点视为球副,一个转动副即可用一条直线两端分别连接一个结点进行表达。因为直线、三角形和四面体是一维、二维和三维空间中最简单稳定的刚体,而桁架是由刚性杆通过结点连接而成,所以,一个转动副连接两个构件所实现的相对转动可由两个三角形,或两个四面体,或一个三角形与一个四面体,通过一条公共边连接而成的桁架来实现。同时,两端均为球副的构件可表示为两端均为结点的一条直线。两端分别为球副和转动副的构件可表示为一个三角形(其中一个顶点对应球副位置,该顶点的对边对应转动副位置)。两端均为转动副的构件通常可表示为一个三角形(两转动副共面相交)或者一个四面体(两转动副空间异面)。当该构件所连接的两转动副轴线相互平行时,采用上述等价方式得到的6条边将处于同一平面内。通过对其力学分析发现,该等价后的桁架含一个瞬时自由度。为避免等价转换后机构的运动特性发生变化且避免引入冗余杆,需在该平面外确定一辅助结点,将该结点与四边形的4个顶点分别相连,并去除原四边形中两条对角线中的一根杆,可得到其桁架形式。因此,采用该转换方法,可将含转动副和球副的连杆机构等价转换为它们对应的桁架形式。本文以一个三重旋转对称的Bricard连杆机构为例,首先将其转换为对应的桁架形式,对其平衡矩阵进行分析,验证了其单自由度的特性;再利用对平衡矩阵进行奇异值分解的数值算法生成了其运动轨迹;最后以平衡矩阵的奇异值为依据确定了该机构的两个分叉点位置。所得到的结果与已有结论完全一致,从而验证了该方法的有效性。以平面四杆和球面四杆两个机构为例,验证了机构运动雅可比矩阵和力平衡矩阵对于运动分析具有等效性的结论。最后,推导了空间桁架中结点线速度与角速度之间的关系。这可将机构学中的铰链角位移问题转换为相应桁架中结点线位移问题。·过约束机构的非过约束形式空间过约束机构由于以最少杆件可提供较好刚性而在工程领域有着广泛的应用前景。而复杂的几何条件对其构件的制造精度以及机构的装配精度提出了极为苛刻的要求。因此,这在很大程度上制约了过约束机构的进一步应用。为了解决该问题,就需要寻找过约束机构的等价非过约束形式。本文第三章以桁架方法为依据,介绍了一种在空间过约束机构等价桁架形式中识别并去除冗余杆的通用方法,从而得到过约束机构的非过约束形式。首先将过约束机构等价转换为对应的桁架结构。再根据麦克斯韦准则,计算出桁架结构中冗余杆的数目,并根据桁架中各杆件之间的相对位置关系,确定去除冗余杆的所有可能方案。通过建立合适的空间直角坐标系,求得所有去除冗余杆件后桁架结构的平衡矩阵并准确地计算出自由度数。相对于原桁架结构,删除杆件后的平衡矩阵若未出现降秩现象,则得到了过约束机构的非过约束简化形式。以Bennett机构和Myard 5R机构为例,详细描述了该方法的具体实施过程。通过对Bennett机构和与其有着相同参数的RSSR机构的输入输出规律进行分析研究,发现它们的运动规律保持一致。采用旋量方法对RSSR机构进行分析,发现其中的这两个球副在运动过程中均与转动副等价。基于以上两点分析,可以证明RSSR机构确实为Bennet机构的非过约束形式。同时,为了验证该方法的通用性,本文还研究了Myard 5R机构的非过约束形式,即为空间RRSRR机构。理论上,制造误差很容易使空间过约束机构出现卡死而失去自由度。然而,制造误差通常并不会改变非过约束形式的自由度,同时对其运动规律也有着较小的影响。通过对输出角关于制造误差的灵敏度分析,发现非过约束形式对制造误差具有更好的协调性。最后,设计出了一类特殊运动副,该运动副即可用于非过约束机构形式,还在提升制造误差协调性的同时,保留了过约束机构所具有的刚性的特点。这些工作为过约束机构的进一步工程应用打下了坚实的基础。·立方八面体与正八面体之间的单自由度变换在几何中,有两类都是由正多边形组成且具有较好对称性的凸多面体,它们分别为柏拉图多面体和阿基米德多面体。其中,柏拉图多面体是由一种正多边形围成的凸多面体,它包含以下5种:正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。阿基米德多面体则是由两种或两种以上正多边形围成的凸多面体,它包含13种。在几何中,经典的截角,截半,交错,扭棱等方式可实现阿基米德多面体和柏拉图多面体之间的变换。但这些变换都是通过截短多面体的边长来实现的,因此,它们均无法由连杆机构来实现。在工程领域,最经典的多面体变换是由Fuller提出的立方八面体与正八面体之间变换的Jitterbug。该变换是通过“旋转+平移”的方式来实现的。运动学上,可认为Jitterbug中的8个三角形面都通过圆柱副与机架连接,且多面体的各顶点均设置为球副。虽然它可单自由度完成变换,但这些圆柱副的存在增加了机构的复杂度、破坏了多面体内部的整体可用区域且降低了有效的体积折展比。自Fuller提出Jitterbug后,已有大量学者对多面体变换以及多面体机构的运动性进行了研究。但这些变换通常要么在改变杆长的情况下改变多面体的大小而不改变其形状,要么不能被单自由度实现,要么不能在两个多面体之间进行。因此,我们的目标是设计简单的机构实现多面体之间的单自由度变换。具体地,在多面体每个顶点处仅设置一个转动副或球副,运用机构运动学理论对多面体展开和折叠构型进行分析,确定各顶点的运动副类型以及转动副的方位,从而得到多面体之间的单自由度变换。本文第四章,采用桁架转换方法,得到了一种空间多环路连杆结构。该机构可实现含6个镂空四边形面和8个刚性三角形面的立方八面体和正八面体之间的变换,其体积折展比为5。将立方八面体中一个四边形设置为一个Bennett机构可将立方八面体中的4个三角形单自由度地折叠为正八面体中共定点的4个三角形,通过分析这些三角形在初始和终止构型下的几何位置关系求得了转动轴的具体方位。类似地,剩下的4个三角形也由参数完全相同的Bennett机构来实现折叠运动。最后,通过4个球副将这两个Bennett机构进行连接,得到了所需的多面体机构。通过桁架方法求得该机构的自由度为1。在此基础上,运用基于奇异值分解的数值算法,得到了该多面体变换的运动轨迹。通过记录运动过程中奇异值的变化,分析了变换过程中的分叉情况。结果显示该机构可实现立方八面体和正八面体之间的单自由度变换,且不会出现运动分叉情况。同时,通过分析各三角形面中心的运动轨迹,对比了所得到的多面体变换与基于“旋转+平移”方式的多面体变换在运动特性和对称性上的差别。此外,对于该机构中4个球副的运动情况也进行了分析。结果显示,这些球副并不能进一步替换为转动副。该可展结构含有8个转动副和4个球副,其中8个转动副构成2个Bennett机构。这2个Bennett机构通过4个球副连接形成4个RSRS机构。这样8个三角形构件通过2个Bennett机构和4个RSRS机构的并联网格连接成立方八面体。随着这6个机构的折展运动,立方八面体被折叠成由8个三角形拼接而成的正八面体。在工程中,由于球副的设计和制作均较困难,故将该多面体机构中的球副用3个转动副所构成的折纸结构进行代替。最后设计并制作了只有转动副的多面体实物模型。该模型进一步验证了计算和设计结果的正确性。·截角八面体与立方体之间的单自由度变换本文第五章,研究了一种可实现11.3倍体积折展比的截角八面体和立方体之间的变换,该变可换由另一个空间单自由度多环路连杆机构实现。将截角八面体中8个镂空六边形面折叠起来,可得到由6个正方形面拼成的立方体。将截角八面体的所有边均视为直杆,并将所有顶点设置为球副,通过桁架方法,求得所形成的多面体机构的自由度为18。因此,为了得到单自由度的多面体变换,需要在此基础上引入约束来降低自由度数。通常,将一个球副替换为一个转动副可增加2个约束、减少2个自由度数。然而,由于多面体中存在着复杂的拓扑环路,故不能通过简单数数的方式确定需要引入转动副的数目。截角八面体中的一个镂空正六边形对应的折叠状态是立方体中具有公共顶点的3条相互垂直的边。因其展开和和折叠状态均具有三重旋转对称性,故选取了同样具有三重旋转对称的Bricard机构来实现它们之间的变换。该机构是一种经典的由6个转动副连接而成的单自由度六杆机构。通过分析变换前后各正方形的几何方位关系,运用机构运动学方法,求得了各个顶点处转动副的具体轴线方位。类似地,将由剩下的3个正方形面和对应的3条边所围成的六边形也设置成了具有相同参数的Bricard机构。通过桁架方法,对引入2个Bricard机构后的多面体机构进行分析,求得其自由度数为2。为了获得单自由度变换的目标,仍需将剩余的12个球副中的某一个替换为转动副。研究发现,将这12个球副分别单独替换为在特定方位平面内的转动副均可获得单自由度变换。考虑折叠和展开过程的完整性以及运动过程的物理干涉情况,通过对运动路径的模拟以及对平衡矩阵奇异值的记录,确定了转动副在对应平面内的方位范围。最后,通过3D打印,制作了一个边长为20cm的截角八面体和立方体之间变换的验证模型。·截角四面体与正四面体之间的单自由度变换本文第六章,通过一个由1个Bricard机构和3个RSRRSR(或者3个RRSSRR)机构构建的多环路机构,实现了截角四面体和正四面体之间的单自由度变换,它们的体积比为23。截角四面体是一类由4个正六边形和4个正三角形组成的阿基米德多面体。其中,镂空的正六边形是由3个三角形面和3条边围成,呈三重旋转对称分布。类似于前一个多面体变换,该正六边形也可由三重旋转对称的Bricard连杆机构单自由度折叠为正四面体中有公共顶点的3条边。将其余6个顶点均设置为球副,通过桁架方法,求得所得到的多面体机构的自由度为4。为获得单自由度的多面体变换,仍需将部分球副替换为具有特定转轴方向的转动副。考虑结构的对称特性,该机构存在两类仍被设置为球副的顶点位置,即(1)Bricard机构所连接的3个三角形中未被设置成转动副的顶点,(2)第四个三角形的3个顶点。研究发现,分别将其中一类顶点上的球副单独替换为转轴在特定平面内的转动副均可实现单自由度的多面体变换。通过桁架方法联合基于奇异值分解的数值模拟方法,分别求得了这两类替换方案的机构运动轨迹。结果显示,后确定的转动副轴线在对应平面内的某些范围内,可完整地实现预期的截角四面体与正四面体之间的单自由度变换,同时这些变换过程也不会出现物理干涉。最后,基于折纸技术制作了一个实现该多面体变换的实物模型,验证了设计结果的正确性。·结论与展望本文着眼于机构学与结构力学的交叉学科,提出了一种将连杆机构等价转换为桁架形式方法。这为研究复杂连杆机构的运动特性开拓了一种新的研究思路。同时,得到的非过约束形式获取方法和求解多面体之间单自由度变换的方法以及所有设计结果均具有一定理论和工程实用价值。此外,本文研究工作还可以从如下几个方面进行进一步深入研究:(1)机构的雅可比矩阵与桁架的平衡矩阵之间的本质关系仍有待进一步探索和论证。基于该关系,机构的动力学问题也可通过对其等价桁架的平衡矩阵进行分析来解决。由于平衡矩阵的建立过程较雅可比矩阵的建立过程要更加容易、更加便捷,故这可大大简化复杂机构的动力学分析过程。(2)为获取过约束机构的非过约束形式,本文在等价桁架形式中选取待去除的冗余杆时,制定了一些选取规则。放开其中部分或者全部规则,可能会获得更多的非过约束形式。而所得到的非过约束形式与原机构的运动学关系仍需要进一步研究。(3)本文采用了Bennett四杆和Bricard六杆机构实现了3组多面体之间的变换。这两种机构均是经典的空间单自由度机构。而有些多面体变换需要引入八杆或更多杆机构,如可利用空间八杆机构将截角立方体中的镂空正八边形面进行折叠可获得正八面体。因此,以多自由度的单环路连杆机构为单元,能否得到多面体之间单自由度变换需要进一步深入研究。同时,为采用最简单的空间多环路机构来实现多面体之间的变换,在多面体的每个顶点处仅允许设置一个转动副或一个球副。因此,如果释放此限制条件,如在某些顶点处设置两个自由度的U副,也可能会得到更多多面体之间的单自由度变换。更进一步,由于部分多面体变换的展开和折叠构型都具有可三维阵列的特点,因此,以这些少自由度变换的多面体机构为单元,有希望构建出少自由度的可变多面体阵列。这将为模块化设计可展卫星群等航天器提供可能的方案。(4)本文采用结构中的桁架的方法解决了机构运动学中的部分难题。而结构力学中是否还有其它理论亦可用来解决机构运动学问题,仍需要进一步探索。另一方面,机构学中的理论能否解决结构中的一些难题,也有待于进一步探讨。