【摘 要】
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图在三维空间上表现为由线连接的点.三维空间中的点是图的顶点,连接它们的线是图的边.图G=（V（G）,E（G））由非空顶点集合V（G）和不与V（G）相交的边集合E（G）组成.图G的亏格分布指的是序列:γk（G）,k=0,1,…,其中γk（G）表示图G在可定向曲面Ok上不同的嵌入个数.图的欧拉亏格分布指的是序列ε,（G）,i=0,1,…,其中εi（G）表示图在欧拉亏格为i的曲面上不同的嵌入个数.图的嵌
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图在三维空间上表现为由线连接的点.三维空间中的点是图的顶点,连接它们的线是图的边.图G=（V（G）,E（G））由非空顶点集合V（G）和不与V（G）相交的边集合E（G）组成.图G的亏格分布指的是序列:γk（G）,k=0,1,…,其中γk（G）表示图G在可定向曲面Ok上不同的嵌入个数.图的欧拉亏格分布指的是序列ε,（G）,i=0,1,…,其中εi（G）表示图在欧拉亏格为i的曲面上不同的嵌入个数.图的嵌入分布是指亏格分布或者欧拉亏格分布,它是拓扑图论中的重要研究方向之一.本文对嵌入分布的计数、期望值和极限等几个相关问题进行了研究,具体结果如下:（1）研究了一类非线性图的欧拉亏格分布.本文第二章运用覆盖矩阵方法给出一类3-正则Halin图的欧拉亏格分布,同时也计算了此图在小亏格曲面上嵌入的个数.（2）探究了一类线性图的欧拉亏格分布.本文第三章首先阐述一种计算线性图欧拉亏格分布的方法.然后运用此方法,我们得到类梯形图欧拉亏格多项式的显示表达式.（3）计算了两类重要图类的平均亏格.本文第四章借助组合递推和常微分方程的知识,展示了一种计算图的平均亏格的新途径,并且得到了花束Bn和双极图Dn的平均亏格的具体表达式.1991年,Stahl只给出了它们的渐近估计.（4）研究了线性图序列嵌入分布的极限.当图的边数或者顶点数足够大时,嵌入分布的具体数值会非常大,其计算会相当困难.如果想知道其嵌入分布的大体轮廓,需要考虑其极限.本文第五章证明了,在一定条件下,H-线性蜘蛛图序列{Gno}（n=1）∞的嵌入分布的极限是正态分布.作为推论,给出了类路图序列和类梯形图序列的嵌入分布的渐近正态性.（5）证明了类树图序列嵌入分布的极限是正态分布.一列图不断地做边合并,得到的图序列称之为类树图序列.基于两个图的边合并本质上对应的是相互独立的随机变量相加这样的事实,本文第六章证明类树图序列嵌入分布的极限是正态分布.此结果建立了拓扑图论与概率论的联系.
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