循环子群的个数对群结构有很大的影响.本文研究了商群的循环子群个数对群结构的影响.设G是有限群,c（G）为G的循环子群的个数,α（G）=（?）.设N为G的非平凡正规子群,本文研究了满足条件α（G）=α（G/N）的群结构.全文由三章组成.第一章首先介绍了研究背景、国内外研究现状以及本文得到的主要结果,然后介绍与本文相关的有限群的基本定义、定理及符号.第二章首先给出了 α（G）=α（G/N）的一些等价条件.然后考虑了群G满足α（G）=α（G/N）且商群G/N同构于非交换单群:交错单群An（n ≥5）、线性单群PSL（n,q）（n2 ≠（q-1）2≥4 或n2=（q-1）2=2）或酉单群PSU（n,q）（n2 ≠（q+1）2 ≥ 4或n2=（q+1）2=2）.证明了若α（G）=α（G/N）,则G（?）N×G/N.第三章讨论了对满足G/N交换且α（G）=α（G/N）的有限2-群G.Id（G）记为群G中满足g2d=1的元素,首先证明了Id（G）≤G,然后给出了G的8阶、16阶和32阶子群的结构.再讨论了I1（G）为特殊情形时群G的结构:证明了若|I1（G）|≤4,则G是交换群;|I1（G）|=8,则G为交换群或G（?）〈a,b,c|a2m=b2n=c2=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc>;|G/I1（G）1=2,则G为交换群或G（?）〈t,x1,…,x2m|t4=xi2=[xi,xj]=1,[t,x2k]=x2k-1,1 ≤i,j≤2m,1 ≤k≤m〉.最后,证明了若α（G）=α（G/N）>3/4且无直积因子Z2时,则G（?）〈c,x1,y1,…,xn,yn|c2=xi2=yi2=1,[c,xi]=yi,[xi,yi]=[c,yi]=1,i=1,2,…,n>,其中n≥3。