分数阶微积分已有很长的历史.早在1695年，Leibnitz给LHospital的一封信中就提到了分数阶微分的概念.Leibnitzz写到：“这会导致悖论，不过总有一天会得到有用的结果.”早期对分数阶微积分有贡献的数学家包括Liouville、Riemann等.在最近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家有用，然而在最近几十年里，许多学者指出分数阶微积分非常适合刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，在经典模型中这些性质常常是被忽略的.如今，分数阶微分方程越来越多地被应用来描述光学和热学系统，流变学及材料和动力系统、信号处理和系统辨识，控制和机器人及其他应用领域中的问题. 本论文共有三章，其中，第一章为引言，介绍分数阶微积分的基础知识，第二章为本论文的主要内容之一，研究对一般的分数阶稳态方程(它是一种典型的分数阶椭圆型方程，含有分数阶拉普拉斯算子)的有限元解问题.第三章为线性分数阶系统的渐近稳定性问题和分数阶微积分的-个应用. 具体地说，第一章，简要地回顾了分数阶微积分的几种定义并分析和比较它们的一些性质.第二章，根据分数阶导数算子的特点，引进分数阶Sobolev空间，和一系列等价的有限元解空间，利用Galerkin有限元方法，和三种不同的技巧，解决了线性分数阶稳态方程的变分解问题.给出了相应的误差估计，并举出两个数值例子来验证了算法的有效性. 第三章，利用Laplace变换和Mittage-Leffer函数相关的性质。并引进了矩阵的实标准型形式，分别解决了在Riemann-Liouville导数和Caputo导数意义下的线性分数阶微分系统的零解的渐近稳定性.这里的讨论方法为将来解决非线性分数阶微分系统零解的渐近稳定性提供了有益的借鉴.同时.利用Caputo导数，针对在生物学，生态学等中广泛存在的异速增长律，建立了一个分数阶微分方程的模型，比通常的模型更符合实际情况一些.