本文主要研究调和函数的对数导数与Schwarz导数解析或调和的条件，以及相关的Schwarz导数范数理论.19世纪20年代，由于调和映射与极小曲面的紧密联系，微分几何学者开始对调和函数进行深入研究.本世纪初，Chuaqui,Duren和Osgood根据极小曲面的微分几何提出了关于平面调和函数的Schwarz导数的概念，将复平面上局部单叶的保向调和映射根据Weierstrass-Enneper提升公式提升到极小曲面，再将极小曲面上的Riemann度量作为共形度量，定义了平面调和映射的Schwarz导数，研究了单位圆到极小曲面之间映射的单叶性与Schwarz导数的关系. Chuaqui，Duren和Osgood定义的Schwarz导数要求调和映射的像区域可以提升为极小曲面，即其伸缩商必须是一个解析函数的平方，本身有一定的局限性.当伸缩商不是一个解析函数的平方时，该函数的Schwarz导数无意义。　　本研究分为四个部分：第一章，绪论。回顾了平面调和函数理论发展的背景，介绍了调和函数、对数导数及Schwarz导数等相关的概念，给出了所用到的一些概念和记号，列出了本研究的主要结果。第二章，对数导数和Schwarz导数的性质.根据经典的单叶函数与Teichmüller理论，单连通区域上局部单叶的解析函数的Schwarz导数是解析的，并且容易推出局部单叶的解析函数的对数导数也是解析的，而且单连通区域上的全纯函数必定是某个局部单叶解析函数的Schwarz导数.调和函数是解析函数的自然推广，单连通区域上局部单叶的调和函数的对数导数与Schwarz导数是否解析或调和，是一个值得讨论的课题.在这章中，用反证的方法，讨论了本文所定义的对数导数与Schwarz导数各自解析或调和的条件，证明了：当且仅当伸缩商为常数时，单连通区域上局部单叶的调和函数的对数导数与Schwarz导数解析或调和。第三章，Schwarz导数的范数.1949年，Nehari开创性的研究发现了解析函数的Schwarz导数与函数单叶性之间的关系.在万有Teichmiiller空间理论中，引入了Schwarz导数范数和单叶性内径的概念.为了确定单连通区域在万有Teichmüller空间中的位置，可以利用Schwarz导数范数来计算区域的单叶性内径，需要对单叶函数的Schwarz导数范数进行估计.但对一个函数的Schwarz导数范数进行估计却不是件容易的事.在本章我们研究了这个问题，讨论了Schwarz导数范数的有界性，还得到了单位圆内凸调和函数的Schwarz导数范数估计。第四章，对数导数和共形度量密度的估计.我们把满足Nehari给出的单叶性准则的单叶解析函数称为函数Nehari族，研究了Nehari族的一些性质.在这章中，我们定义了与Nehari族相类似的单位圆内单叶调和函数族此处为公式，由此对对数导数和共形度量密度进行了估计。