【摘 要】
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二次矩阵不等式（Quadratic Matrix Inequality,QMI）可用来描述控制系统的稳定性问题,但QMI约束优化问题一般是非凸的,即使QMI可行性问题一般也是NP-难的.近些年来,QMI约束优化问题的求解吸引了越来越多的关注.本文主要研究二次矩阵不等式约束的二次规划（QMI Constrained Quadratic Programming,QMICQP）问题的精确半定形式和双线性
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二次矩阵不等式（Quadratic Matrix Inequality,QMI）可用来描述控制系统的稳定性问题,但QMI约束优化问题一般是非凸的,即使QMI可行性问题一般也是NP-难的.近些年来,QMI约束优化问题的求解吸引了越来越多的关注.本文主要研究二次矩阵不等式约束的二次规划（QMI Constrained Quadratic Programming,QMICQP）问题的精确半定形式和双线性矩阵不等式可行性问题（Bilinear Matrix Inequality Feasibility Problem,BFP）的分支定界算法.本文主要研究以下两个方面:一、首先考虑了Farkas引理在矩阵空间中闭凸锥上的推广.在此基础上,研究了QMICQP问题的精确半定形式:首先,考虑了QMICQP问题的半定规划松弛形式,并给出了该松弛问题的对偶问题（下称松弛对偶问题）.然后,考虑了特殊的对角QMICQP问题,利用其松弛对偶问题的约束研究了可行性系统,在此基础上分析了半定规划松弛问题的最优解为原问题最优解的条件.最后,将结论推广到了对角的QMICQP问题.二、设计了求解BFP问题的分支定界算法.基于已有的分支定界算法框架,设计了新的分支规则,根据求解的问题形式改进了终止准则,给出了新的分支定界算法求解BFP问题.使用Matlab编程进行了数值实验,分析了不同的下界问题和分支规则对算法的影响.初步的数值结果表明,对于不同的分支规则和下界问题,调整终止准则后的分支定界算法的效率更高.此外,给出了一种求解二阶BFP问题的罚方法.本文第1章简要介绍了矩阵不等式问题的背景及研究现状;第2章主要介绍了向量空间中Farkas引理及其推广形式,并利用“渐近可解”的概念给出了矩阵空间中闭凸锥上的Farkas引理;第3章考虑了QMICQP问题的精确半定松弛理论.第4章基于已有的分支定界法,提出了新的分支规则和终止准则,设计了求解BFP问题的新的分支定界法,并给出了数值实验结果.最后是总结和展望.
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