偏微分方程反问题一直是应用数学和计算数学领域的研究热点，它广泛存在于自然科学和社会科学中，是地球物理勘探、油气油田开发、材料的无损伤检测、人体癌症肿瘤的检测、雷达和声纳的探测与跟踪等应用科学的基础.基于波场散射的微分方程反问题的研究是一类重要的偏微分方程反问题。正散射问题是由已知的散射体和入射场来确定散射场。在一定的物理假定下散射场满足偏微分方程（组）的定解问题.因此，正散射波场可由偏微分方程的定解问题的求解来确定.逆散射问题则是试图利用散射体外部或内部测量到的散射场信息（远场或者近场）来重构散射体的边界形状或边界物理性质，因为在很多问题中散射体边界的形状或边界性质是不可直接测量的.根据散射体的特性，散射现象可以分为简单散射和复杂散射.简单散射是指在均匀介质中边界为sound-hard或sound-soft的不可穿透的障碍物发生散射的现象.复杂散射是指边界带涂层部分或多障碍物散射或带有混合边界等具有复杂几何结构或复杂物理性质的散射.本文的第一部分考虑Helmholtz方程的带Dirichlet-Robin混合边界散射体的复杂散射问题.问题是由散射体内部闭合曲线上的若干点源及闭合曲线上对应的散射场重构混合边界散射体的边界形状以及阻尼边界部分的阻尼系数.　　热成像，静电成像，腐蚀探测等很多物理问题在数学上被看做Laplace方程的边值反问题，本文的第二部分考虑这类问题带有混合边界条件的一个反问题模型。假定考虑的介质是一个双连通区域，内部边界的形状和其上的物理性质是未知的。我们的问题是利用在双连通区域已知的外部边界上给定的若干组柯西数据，去同时重构带有广义阻尼边界(generalized impedance boundary condition即GIBC)条件的内边界的形状及其上的物理参数.同时我们还研究了带Dirichlet-GIBC混合边界的单连通区域，在已知Dirichlet边界上的一组柯西数据时重构被腐蚀的广义阻尼边界(GIBC)部分的形状问题.　　对上述非线性的反问题，在研究反问题解的性质的基础上，我们重点研究了数值反演的算法，并给出了具体的数值算例。　　本文的结构如下.　　第一章，叙述逆散射问题和静电成像的相关研究工作背景和研究现状，并概述本文的主要工作.　　第二章，叙述本文研究反问题时需要的一些数学理论基础，包括椭圆型方程解的表示、位势理论，及不适定问题正则化求解的一些基本结果。　　第三章，考虑的反问题为Helmholtz方程内问题具有混合边界条件的散射体的边界形状和阻尼边界部分阻尼系数的重构.首先从理论上证明由混合边界腔体内部一条曲线上给定的若干点源和对应的散射场的测量值来反演混合边界腔体形状的唯一性，以及确定边界阻尼部分的阻尼系数的唯一性.然后我们给出了由上述输入数据来确定腔体形状和边界阻尼系数的重构方法。确定几何形状时，我们利用的是线性采样法，此时该边界上的阻尼系数可以是未知的.这是已有的逆散射外问题利用probe method检测边界性态的结果的一个推广。确定边界上的阻尼系数时，我们假定边界形状是精确给定的，此时利用线性采样法中导出的密度函数，我们得到了边界阻尼系数满足的一个第一类的线性积分方程，由此我们用正则化方法近似重构边界阻尼系数。这部分的工作是已有对外散射问题重构阻尼系数的一个推广。　　在实现上述重构算法时，我们需要通过数值模拟求解正散射问题得到内部曲线上的正散射场，这个问题我们是通过Helmholtz方程解的位势表达来求解的，同时位势理论也在我们对反问题的定性研究中起着关键的作用。另一方面，在求解边界阻尼时，我们需要用到内部混合边值问题对应的外部混合边值问题的解。这时外问题对应的阻尼边界条件不同于经典的外部散射问题的边界条件，我们研究了这类问题解的适定性，为我们的算法提供了理论基础。　　在本章最后给出了数值实验，验证了提出算法的可行性和效果。　　第四章，考虑环形区域上Laplace方程的边界反问题.我们假定外边界的形状是已知的，其上满足Dirichlet边界条件，内边界形状是未知的，其上满足广义阻尼边界(GIBC)条件.研究的反问题是由外边界上给定的若干组柯西数据重构内边界形状以及边界上的两个阻尼系数的重构，理论上证明了由环形区域外边界上的若干组柯西数据可唯一同时重构环形区域内边界的形状及其上的两个阻尼系数.重构方法是对边界形状和阻尼系数满足的非线性积分方程组给出了一种全新的线性化的迭代方法，并且我们研究了这种迭代过程的可行性。　　具体研究步骤如下。首先根据解的单层位势表示在边界的跳跃关系模拟求解正问题得到反问题需要的外边界的Cauchy数据.对反问题，我们利用格林公式及双层位势的边界跳跃关系得到一组非线性边界积分方程组，从而将边界反问题转化为了求解一组非线性方程组的问题.通过计算非线性积分方程组关于未知元素的Fréchet导数，我们构造了两种牛顿迭代算法，它们都可以重构出内部边界的形状以及阻尼系数.最后给出了数值例子，表明了这两种牛顿迭代方法的有效性.　　第五章，考虑满足Laplace方程的腐蚀边界腔体逆散射问题.单连通腔体由两部分边界组成，一部分为Dirichlet边界，另一部分为广义阻尼边界(GIBC)，其中广义阻尼边界为腐蚀部分.研究的反问题为已知Dirichlet边界部分的一组柯西数据重构腐蚀边界形状.　　我们仍然利用单层位势在边界处的跳跃关系来数值求解正问题以得到我们需要的反演输入数据.与第四章类似，我们用格林定理将重构边界形状的反问题转化为求解非线性积分方程组的问题。对此非线性方程组，我们构造了一种牛顿迭代法，通过迭代求解对应的线性积分方程组，重构腐蚀边界形状.数值算法验证了该算法的有效性及对数据误差的稳定性.　　第六章，小结我们的主要工作并对未来的相关研究作出展望。