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Banach-Mazur距离是凸几何中的重要概念,它反映了凸体的仿射变换等价类之间的差异。然而,任给一个有跟维Banach空间,其单位球为欧氏距离下的凸体。因此,Banach-Mazur距离在刻画不同Banach空间之间差异时有着重要意义,所以Banach-Mazur距离在泛函分析中有着重要的作用。
然而迄今为止,人们还没有找到计算Banach-Mazur距离的一般方法,所以通常情况下。计算两凸体间的Banach-Mazur距离的精确值是非常困难的。于是估算Banach-Mazur距离的范围也就有了较重要的意义。
这篇文章将讨论两种用于研究Banach-Mazur距离的新方法,第一种方法是纯数学的,作者通过引入G函数,对一类凸图形改进了Banach-Mazur距离的估计。而另一种则借助于计算机,讨论一类特殊的十二边形在Banach-Mazur距离意义下的性质。
本文首先介绍与Banach-Mazur距离有关的一些重要结果,尤其是John定理、其推论以及它们在泛函分析中的应用。第一章末尾介绍Grunbaum曾得到的关于平面中心对称凸体的漂亮结果。由于Grunbaum的那篇论文现在已经很难找到,所以我独立重新证明了这个结论。
然后介绍我在Banach-Mazur距离问题上得到的主要结果及其证明,尤其是通过引进G函数,部分改进了Lassak的结论。
最后一章介绍研究Banach-Mazur距离的一种全新的思路,即借助计算机来对平面凸体与其内接多边形的关系进行分析。在计算机的帮助下,我们得到关于一类特殊的十二边形的Banach-Mazur距离上界的改进结果。
附录为第三章所应用的程序。