【摘 要】
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在代数学中用一组生成元和它们之间的一组关系来定义一个代数结构是一个非常有效而且常用的方法.此时一个关键要解决的问题是要找出方法来判断一个元素是否属于给定关系生成的理想,也就是代数学中的约化问题.其中Grobner-Shirshov基理论提供了一个解决各种代数约化问题的方法.作为一种结合代数,量子群中的约化问题也可以用Grobner-Shirshov基理论来讨论.据我们所知,目前这方面的研究结果并不
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在代数学中用一组生成元和它们之间的一组关系来定义一个代数结构是一个非常有效而且常用的方法.此时一个关键要解决的问题是要找出方法来判断一个元素是否属于给定关系生成的理想,也就是代数学中的约化问题.其中Grobner-Shirshov基理论提供了一个解决各种代数约化问题的方法.作为一种结合代数,量子群中的约化问题也可以用Grobner-Shirshov基理论来讨论.据我们所知,目前这方面的研究结果并不丰富,也就是说对于An,B2,G2,D4型和E6型量子群的Grobner-Shirshov基已经分别由Bokut, Malcolmson,孔军士,任艳华,Yunus和Obul给出,但是F4型量子群的Grobner-Shirshov基尚未完成.为了给出量子群的PBW型基,Ringel用代数表示论方法,确切地说用Auslander-Reiten理论,构造了Ringel-Hall代数的一个生成序列和这些生成元的所有拟交换关系.另一方面,Ringel-Hall代数与量子群的正部分之间存在一个经典的同构.本文利用上述两点,首先通过一种“归纳”的方法计算出F4型量子群的正部分的所有拟交换关系.准确地说,传统方法指先计算所有Hall多项式,然后再用这些多项式来计算所需要的拟交换关系.在本论文我们没有用传统的计算方法,我们首先写出“较容易”的拟交换关系,“较容易”是指所对应的正合列的中间项不可分解或者是可裂的正合列.然后从这些“较容易”的拟交换关系“归纳”的计算出其它的拟交换关系.这时我们还可以得到另外一个结果,也就是说通过比较这些公式和Ringel-Hall代数中的乘法定义得到所有Hall多项式.最后证明这些关系的集合对合成运算是封闭的,从而形成F4型量子群的正部分的一个最小的Grobner-Shirshov基.对偶地得到其负部分的一个最小的Grobner-Shirshov基.最终得到了F4型量子群的整个Grobner-Shirshov基.
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