求解非线性矩阵方程一直是控制理论研究的重要领域之一,它在数值代数,统计学,动态规划,随机渗入,梯形网络,排队理论等其他领域也有重要的应用,在许多最优控制问题中需要求解离散代数Riccati方程,事实上此类问题等价于求解矩阵方程Xs+A*X-tA=Q的特殊情况,所以研究非线性矩阵方程有助于解决许多复杂的控制问题.由于该类方程是非线性的,它也成为近年来研究的难点,　　本文主要研究非线性矩阵方程Xs+A*X-tA=Q的Hermite正定解.一方面利用不动点理论和不等式放缩技巧研究了HPD解的唯一性和存在性,另一方面利用一种转换将方程Xs+A*X-tA=Q与方程y+A*Y-qA=Q紧密联系起来,利用方程y+A*Y-qA=Q的相关结论,给出了方程Xs+A*X-tA=Q更精确的区间估计和迭代算法.本文主要内容如下:　　第一章介绍了矩阵方程Xs+A*X-tA=Q的发展历程、应用背景和研究现状,给出了本文的研究问题及主要工作,并列出了经常使用的一些记号,　　第二章研究了方程Xs+A*X-tA=Q解的存在性,利用不动点定理证明了方程存在唯-HPD解的充分条件,分析了此条件与已有结论的判别范围互不包含,并构造了求唯一解的迭代算法,同时研究了当方程的系数矩阵满足特殊条件不等式时的两个数值迭代算法,并证明了算法的收敛性.数值例子验证了唯一性定理的优越性和算法的有效性.　　第三章利用一种转换将方程Xs+A*X-tA=Q转换成了方程y+A*Y-qA=Q.通过这种方法,找到了两类方程之间的内在关系,得到了关于方程Xs+A*X-tA=Q新的上下界估计,比已有的区间估计更加精确,并在新的区间估计上利用不动点定理给出了一个新的唯一性定理.同时通过这种转换得到了在一般情况下求最大和最小HPD解的迭代算法,弥补了方程必须在系数矩阵满足特殊条件时才能构造算法的不足.数值例子证明了有效性.