本文研究多重调和方程组{(-△)mu=vq，(-△)mv=up,x∈RN(01)的Liouville型定理.Liouville型定理在非线性椭圆型方程或方程组正解存在性的研究中发挥着重要的作用.当我们研究不具有变分结构的非线性椭圆型方程或方程组正解的存在性问题时，通常会使用拓扑方法，这时很重要的一个步骤是获取解的先验估计.利用爆破(blow-up)方法，这化归为证明全空间(或半空间)的Liouville型定理.因此，在非线性椭圆型方程或方程组正解存在性的研究中Liouville型定理发挥着重要的作用，对Liouville型定理本身的研究成为研究非线性方程或方程组的重要课题之一. 本文分两个部分，分别研究了上述多重调和方程组的径向解和非径向解.我们在研究多重调和方程组(0.1)时，很多地方受二阶椭圆方程组的启发.无论是讨论径向解或非径向解，我们都把上面的多重调和方程组化为二阶椭圆方程组.因此首先要证明解的上调和性质，即(-△)iu≥0，(-△)iv≥0，i=1，…，m-1. 在第一部分我们考虑了径向解，我们证明了超线性次临界时的Liouville型定理(不存在性)以及临界或超临界时无穷多解的存在性.证明超线性次临界的Liouville型定理时我们采用的基本是Mitidieri[22]的方法.首先得到解在无穷远处的衰减性质，然后结合Pohozaev型恒等式导出矛盾.证明无穷多解的存在性时，我们将多重调和方程组化为常微分方程组，那么这个常微分方程组的任意整体正解定义了多重调和方程组的一个正径向解.然后使用拓扑度方法并且利用了Pohozaev型恒等式表明正解的存在性. 在第二部分我们研究了非径向解，获得一些Liouville型定理.首先，类似于deFigueiredo和Felmer[14]我们引入了Kelvin变换，即w(x)=1/|x|N-2mu(x/|x|2)，z(x)=1/|x|N-2mv(x/|x|2)，应用移动平面法我们得到下面的结果:(i)如果1≤p，q≤N+2m/N-2m，p，q不同时为1或N+2m/N-2m，那么方程组(0.1)无正解. (ii)如果p=q=N+2m/N-2m，那么方程组(0.1)的正解u，V关于RN中某点是径向对称. 然后和Busca-Manásevich[6]一样我们使用了结合极坐标变换的移动平面法，获得结果: 如果m＞1，N＞2m，p，q＞1，设α=2m(q+1)/pq-1，β=2m(p+1)/pq-1.假定α,β∈[N-2/2,N-2m)，那么(0.1)不存在正解. 接着我们使用Souto[33]的方法，通过积分估计得到:如果p，q≥1不同时为1而且满足max{2m(q+1)/pq-1，2m(p+1)/pq-1}＞N-2m，则方程组(0.1)无正解. 最后我们研究了具有更一般的右端项的方程组，即{(-△)mu=g(v),(-△)mv=f(u),x∈RN，(0.2)其中f，g只假设为连续函数.在此前的结果中，在应用移动平面法时，极大值原理要求非线性项是Lipschitz连续的，因此我们采用的是由Damascelli和Gladiali[11]发展的结合积分不等式的一种移动平面法.我们得到下面的结果: 假设 (h1)函数f，g:[0，∞)→R是非减的连续函数； (h2)对(A)t＞0，f(t)/t(N+2m)/(N-2m)，g(t)/t(N+2m)/(N-2m)是非增的函数； (h3)存在p≥1，q≥1，Pq＞1，T＞0使得f(t)≥tp，g(t)≥tq，(A)t≥T. 那么(0.2)没有正解除非 f(t)=c1tN+2m/N-2m，t∈(0，supx∈RNu(x))，g(t)=c2tN+2m/N-2m，t∈(0，supx∈RNv(x))，常数c1，c2＞0.在后面的情形下，假设f(t)=g(t)=tN+2m/N-2m，那么经过平移和伸缩后u，v具有下面的形式 {u(x)=u(|x|)=CN,m(1+|x|2)-(N-2m)/2，x∈RN，v(x)=v(|x|)=CN,m(1+|x|2)-(N-2m)/2，x∈RN，其中CN,m是正常数.