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狄氏型作为随机分析领域的一个经典研究课题,联通了概率论(鞅论,扩散过程,Lévy过程,等等)和分析理论(位势论,边值问题,变差计算,等等),在随机分析领域得NT越来越广泛的应用。本文主要集中讨论了一类非线性的Neumann边值问题,其中,狄氏型理论([14]和[31]起到了重要的作用。同时在论文中也应用到了倒向随机微分方程的相关理论。倒向随机微分方程不仅在金融数学领域,而且在求解非线性微分方程领域也起到了非常重要的应用([18]and[48])。
在本篇论文中,我们证明了一个满足Neumann边值问题的具有奇异参数的椭圆微分方程的解的存在唯一性,并且揭示出一类随机微分方程的解与一类倒向随机微分方程的解之间一一对应的关系。
此项研究是基于在[48]中对于相同形式算子的Dirichlet边值问题的研究。然而在研究过程中发现,对于Neumann边值问题,需要处理在一个有界区域上的反射扩散过程,因此我们需要采用与[48]中不同的分析方法。比如,边界局部时是一个联系这个反射扩散过程的一个增过程,而我们需要估计关于这个局部时的积分。这促使我们转而对反射扩散过程的研究,进而得到了其相联系的热核的双边估计。
我们引入了一类新型的倒向随机微分方程,其定义在无穷区间上,并且具有联系反射过程局部时的一项。我们证明了此倒向随机微分方程的平方可积解的存在唯一性。我们利用这个解来求解非线性Neumann边值问题。事实上,对于此类倒向随机微分方程的研究也具有其独立的意义。
因此,我们给出,当非线性椭圆微分方程的奇异参数满足一定条件的时候,我们可以给出其概率解的一个明确的表示,同时这个解也可以为倒向随机微分方程提供一个平方可积解。