这篇论文研究三类问题:共振线性微分方程的周期性扰动,瞬时和非瞬时脉冲微分方程和自伴算子方程,共七章。第一章介绍论文的写作背景与主要结果,同时列出研究所需的一些空间及其记号。第二章和第三章关注线性微分方程的周期性扰动问题。具体来说,第二章研究共振二阶哈密顿系统的周期性扰动,运用鞍点定理得到了方程解的一个存在性结果。同时,列举两个例子加以说明。此外,还获得存在性结果的两种拓展形式。第三章讨论共振2p阶微分方程的周期性扰动。通过运用Lyapunov-Schmidt约化方法和细致分析由原方程诱导出的扰动方程的振荡行为得到方程解的一个多重性结果。第四章和第五章讨论脉冲方程。第四章研究渐近线性2p阶脉冲哈密顿系统。在给定脉冲系统弱解定义的基础上,验证了系统具有变分结构,进而运用指标理论和一些临界点定理得到系统解的两个多重性结果。第五章研究超线性二阶非瞬时脉冲系统。同样地,在给定系统弱解定义的基础上,运用临界点定理得到系统解的一个多重性结果。第六章和第七章关注自伴算子方程。具体来说,方程中的线性算子是一类只含有离散谱且下方有界的算子。第六章讨论了的是超二次情形,运用在第五章中已经引入的一个临界点定理,得到算子方程解的一个多重性结果。第七章讨论一般情形,运用Schechter环绕方法和临界点定理得到算子方程非核空间解的一些存在性结果。