Boltzmann方程解的正则性研究在数学物理学科中是一个即有趣而又特别重要的课题,近年来不断吸引着大量的科研工作者。研究的目的在于揭示单原子气体中微粒分布函数的光滑性质。在这一领域中,人们发现,粒子之间通过弹性碰撞而产生的摩擦效应会导致许多的数学分析方面的困难。为了避免这些困难,Boltzmann方程早期的大部分研究工作都是基于Grad截断假设的基础上进行的。然而,有研究表明,在Grad截断假设条件成立的情况下,在某些加权Lp空间中方程的解最多只能保持着与初值相同的正则性质。另一方面,有一个事实是众所周知的,就是考虑客观的情形,如果没有附加Grad截断这一假设条件,那么Boltzmann算子类似于一个分数形式的Laplace算子。因此在这个时候,人们有望通过运用各种数学工具和方法技巧,证明出Boltzmann方程解的光滑性效应。在研究无截断Boltzmann方程解的Sobolev正则性方面,目前为止已经有了不少先进的科研成果,使得这一课题在空间齐次的情况下较为满意地得到了证实。我们将会在本论文的第2章中介绍我们在这一方面所做的工作,即考虑一个带有Debye-Yukawa位势且非Maxwellian类的模型,我们证明了齐次Boltzmann方程的弱解如果对于速度变量是Lipschitz连续的,那么这一弱解将属于Sobolev空间Hloc+∞(R3)。更进一步,为了得到更高的正则性,第3章将致力于研究逆幂律位势下空间齐次Boltzmann方程解的Gevrey类光滑性质。在第3章的第一节中,我们针对这一问题作一个简单的介绍,并列举出近年来Boltzmann以及其他相关方程在这方面的一些成果。紧接着,在第二节中我们考虑了相应的非Maxwellian类情况下的线性化Cauchy司题。值得一提的是,Maxwellian类的情况已经在文章[25]中得到了解决。在这里我们将使用另外一种新的方法来得到解在局部空间中的Gevrey正则性,并且不要求任何关于初值的Gevrey正则性假设。与[25]中的方法相比,这一方法最大的特点是基于数学归纳,不仅仅要利用到抽象的拟微分算子,还有许多其他前沿的数学分析技巧,比如Cauchy积分定理等等。更重要的在于它能解决更复杂的诸如Maxwellian类的情况,这是[25]中的方法所不能解决的。在第三节中我们同样利用这一方法,进一步在Maxwellian类和非Maxwellian类这两种情况下,讨论相应的非线性Cauchy问题。加上一些合理的假设条件,我们同样成功地得到了关于解的Gevrey正则性的肯定的答案。最后,第4章作为全文的总结,主要总结本论文中的成果,存在的不足,以及以后的研究方向。