本文首次研究了求解分片常系数介质问题▽(γ(x)▽u(x))=0(其中γ(x)为分片常系数)的边界积分方程组的高精度机械求积法，高精度中点常元配置法及其外推。 作者首先讨论了边界和界面都光滑的不连续介质问题的边界积分方程的机械求积法及其Richardson外推。利用单层位势和区域分解理论将不连续介质的微分方程转换为等价的具有对数弱奇异性的第二类Fredholm边界积分方程组，再根据Sidi-Israeli求积法则，提出了一套计算该奇异边界积分方程组的机械求积法，该方法具有O(h<3>)的高阶精度、非常低的计算复杂度，且误差具有渐近展开。利用聚紧和渐近紧收敛理论并结合Euler-Maclaurin展式，证明了近似解的收敛性与稳定性，并证明了误差具有O(h<3>)幂以上的渐近展开。进一步利用Richardson-h<3>外推，外推近似解精度高达O(h<3>)。此外，我们还得到了近似解的后验误差估计，利用后验误差估计，可构造机械求积法的自适应算法。数值例子显示我们的计算结果与使用外推和不使用外推得到的理论收敛阶完全一致，计算所花CPU时间比中点常元配置法少得多，后验误差估计也非常准确。 其次，研究了求解边界和内部界面为多角形的不连续介质问题的边界积分方程组的机械求积法及分裂外推。由于边界积分方程组的解在角点具有奇异性，不宜直接离散．因此我们先对多角形的每条边及内部界面使用sin正弦周期变换，借以消除解在角点的奇异性，然后使用Sidi—Israeli的求积法则及中矩形求积公式以构造解多角形上不连续介质问题的边界积分方程组的机械求积法。从理论上证明了近似解的存在性与收敛性，并证明了其误差拥有多参数的h<,ij><3>(i=1，2，j=1，2，d<,i>)幂以上渐近展开，由此构造了相应的分裂外推算法。外推精度可达O(h<4>)。由于分裂外推算法可并行计算，计算时可节约大量运算时间． 第三，讨论了多角形域上不连续介质问题的一种修正的中点常元配置法。边界积分方程组离散之前，先对每条边做周期变换，然后取剖分子区间的中点为配置点，得到一种新的中点常元配置法。实际计算表明，该修正的中点常元配置法收敛阶达到了针对光滑边界的标准中点常元配置法收敛阶：即对第二类边界积分方程，收敛阶为O(h<2>)，对第一类边界积分方程，收敛阶为O(h<3>)。由于配置法在工程界被广泛使用，因此研究不连续介质问题的高精度配置法具有重要的理论与应用价值。 第四，我们研究了不连续介质问题的基于直接边界积分方程的机械求积法，对不同介质区域间无包含关系情形(见第五章图5.1右)，数值计算显示前面提出的基于单层位势的机械求积法计算效果不佳。基于区域分解的直接边界积分方程的机械求积法，对各种区域具有更好的适应性，且近似解精度也达到O(h<3>)，但由于在内部界面上同时需要计算u(x)和au(x)/an的两个未知量，而基于单层位势的边界积分方程组只需计算一个未知量z<,2>(σ)，因此其计算量比基于单层位势的边界元要大许多。但由于直接边界积分方程在边界上的未知量具有物理意义，因此该方法更易于被工程界接受。 第五，研究了曲边多角形区域Laplace问题第一类边界积分方程的修正中点常元配置法。如果对该问题直接使用中点常元配置法，近似解内点精度为O(h<β+3/2>,其中β=(1-α)/α，απ是最大内角．因而凹角区域内点精度低于O(h<2>)。为提高精度，本文在离散之前，对每条边作sin周期变换，然后取每个离散子区间中点作为边界积分方程组的配置点，得到一种新的修正中点常元配置法．该配置法不仅适用于内问题，也适用于外问题．数值例子显示近似解收敛精度对凸区域和凹区域都可达到O(h<3>)。 最后，本文应用偏微分方程的区域分解算法理论研究了底水打开不完善气井二项式产能公式。底水打开不完善气井的渗流是由井附近区域遵循二项式径向流规律的非达西流动及此区域外遵循由底水驱动向不完善井三维达西流动两部分组成。由于底水气藏的产气主要由底水驱动而得，侧边边界影响可忽略，故本文假定气藏由上边界封闭和下边界定压的无限大区域所导出的产能公式便具有普遍意义。本文首先导出底水气藏打开不完善井在非达西区域的压降公式，再结合达西区域的二项式产能公式最终得到底水气藏向打开不完善井流动的二项式产能公式。由于目前流行的计算向不完善井流的公式，仍使用改进的上下封闭边界的裘比公式，未能充分反映底水驱动特点，而本文公式能准确描述底水驱动的打开不完善井非达西流动规律下的产能。