【摘 要】
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设α为d次的全实代数整数,它的极小多项式为P(x)=xd+b1xd-1+…+bd-1x+dd,其中α1=α,α2,…,αd为α的所有共轭元,且αi∈[a,b](i=1,2,…,d),a∈ R,b ∈ R.α的最大共轭元与
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设α为d次的全实代数整数,它的极小多项式为P(x)=xd+b1xd-1+…+bd-1x+dd,其中α1=α,α2,…,αd为α的所有共轭元,且αi∈[a,b](i=1,2,…,d),a∈ R,b ∈ R.α的最大共轭元与最小共轭元之差称作α的直径,记作diam(α),即 diam(α)=(?)|αi-αj|.1857年,Kronecker[21]证明了满足b-a=4的全实代数整数有无穷多个.1918年,Schur和Polya[34]证明了满足b-a<4的全实代数整数的个数是有限的.随后,Robinson[31]证明了满足b-a>4的全实代数整数是无穷多的.从而,寻找直径小于4的全实代数整数成为了广泛关注的问题.目前人们已经给出了所有次数小于16,直径小于4的全实代数整数.但随着次数的增加,计算时间增长过快,寻找更高次的所有直径小于4的全实代数整数的工作变得越来越困难.在本文的研究过程中,我们结合Chebyshev多项式构造的辅助函数,对Sk的上下界进行了优化,其中Sk=(?)αik,从而获得了更好的全实代数整数对应的极小多项式P(x)的系数的上下界,大大缩短了寻找直径小于4的全实代数整数的计算时间,进而找到了 d=16,17次的所有直径小于4的全实代数整数.
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