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极限环的研究是微分方程定性理论中最重要、最困难的问题之一，一直受到众多数学家、物理学家和技术科学家们的广泛关注.目前对于二次多项式系统和三次多项式系统已经有了许多研究成果，而高次多项式系统研究成果却相对较少，本文主要研究下面两类高次多项式系统:
{x=y-(a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4),y=-(b1x+b2x2+ b3x3+b4x4);
{x=y-(a1x+a2x2+ a3x3+ a4x4+ a5x5),y=-(b1x+b2x2+ b3x3+ b4x4+ b5x5).
这是两类多项式Lienard系统.众所周知，Lienard系统在许多实践领域中都有着很广泛的应用，例如机械震荡、无线电电子电路、化学反应、人口动力学、非线性力学以及神经刺激等领域.与此同时它还可以用来描述电路循环、心脏跳动、传送带的作业情况和通讯设备的工作状况等，并且随着研究的进一步深入Lienard系统将进一步发挥更大的作用.这些都表明对Lienard系统的研究是具有实际意义的.在理论方面:许多多项式系统都可以经过一定的变换而转换为Lienard系统，这时我们就可以利用已有的Lienard系统的研究成果来对这些多项式进行研究，这也是Lienard系统另一个重要的作用.
本文在前人的基础上利用Filippov变换、张芷芬定理、金华涛推广之后的张芷芬定理等定理和工具来对上面的两个高次多项式系统进行分情况讨论.对于四次多项式系统主要根据它的奇点的个数和类型分为下面几种情况进行讨论:
(1)a4=0,b4≠0,b2=b3=0;
(2)a4=0，b4≠0，b2=0;
(3)a4=0，b4≠0，b3=0;
(4)a4=0，b4≠0，b1=b2=0;
(5)a4=0，b4≠0，b1=b3=0;
(6)a4=0，b4≠0，b1=b2=b3=0
(7)a4≠0,b4=0,b2=b3=0;
(8)a4≠0,b4=0,b1=b2=0;
(9)a4≠0，b4=0，b2=0;
(10)a4≠0,b4=0,b1=b3=0;
(11)a4=0,b4≠0,a1=a3=b2=b4=0.
对于五次系统则只分了下面六种情况种情况进行讨论:
(1)a2=a4=0,a1＜0，a5＞0,√a32-4a1a5≥a3+2a5;
(2)a1=a2=a4=0,a3＜0,a5＞0,|a3|≥a5;
(3)a2=a3=a4=0，a1＜0，a5＞0;
(4)a3=a4=0，a1＜0，a2＜0，a5＞0，|a1|≥a5，a2≥a1;
(5)a2=a3=0，a1＜0，a4＜0，a5＞0，| a1|≥a5，a4≥a1;
(6)a1=a4=0,a2＜0,a3＜0，a5＞0,|a3|≥a5,a2≥a3.
通过分情况讨论得到了四次多项式系统极限环存在性和不存在性的一些相关条件，同时得到了五次多项式系统极限环存在唯一性的一些结论.