随着样条(即分片多项式)理论的系统创立，人们越来越多地采用样条刻画和近似表达各种曲线、曲面及其它几何对象.因此现实中大多数曲面相交问题就是分片多项式曲面的相交问题，也就是分片代数簇问题.由于多元样条不仅依赖于对定义域所做剖分的拓扑性质，有时还严重地依赖于剖分的几何性质.也就是说对于给定的剖分，在某些胞腔上由多元样条所界定的多项式的零点未必落在该胞腔内，此时经典代数簇的研究方法对分片代数簇难以奏效，所以分片代数簇的研究面临很大的困难.Gelfand等[34]在判别式、结式和高维行列式的观点下系统地介绍了经典代数簇的研究成果，杨路、张景中与侯晓荣[122]就非线性代数方程组与定理机器证明问题也有独到的论述，然而很多结论，如经典的Bezout定理及Bernstein定理等在分片代数簇上是不适用的.所以人们必须探索研究分片代数簇的新途径、新方法.本文主要就分片代数簇的理论与计算方面的某些问题展开研究，考虑的问题主要有：分片代数曲线的Bezout数、分片代数曲线实交点个数下界、分片代数曲线与四色定理、BKK定理在多元样条空间上的推广及凸多面体的Minkowski分解，此外，还考虑了径向基函数插值中心的自适应选取问题。主要工作简述如下： (1)众所周知，Bezout定理是传统代数几何的开卷定理.其最简单形式是说，任何两个次数分别是m和n的二元代数曲线，如果没有公共分量，那么它们在复平面上最多有mn个交点，数值mn就称作是二元多项式空间Pm和Pn的Bezout数.鉴于Bezout定理在传统代数曲线理论中的重要地位，考虑Bezout定理在分片代数曲线中的推广对分片代数曲线的研究同样十分重要.例如分片代数曲线的Cayley-Bacharach定理以及分片代数曲线插值等都需要建立在Bezout型定理的基础上.对于二元样条函数空间，记BN：=BN(m，r；n，t；△)为样条空间，Srm(△)和Stn(△)的Bezout数.其意义是说：如果两个分片代数曲线f(x，y)=0(f(x，y)∈Srm(△))和g(x，y)=0(g(x，y)∈Stn(△))的交点超过了BN(m，r；n，t；△)个，那么它们一定有局部公共分支.王仁宏教授领导的团队在这方面作了深入研究，已经取得了一些有意义的成果，施锡泉与王仁宏教授[82]给出了任意三角剖分下，两个C0的分片代数曲线的Bezout数的上界，最近王少帆[106]又对此做了一些更为细致深入的研究，许志强与王仁宏教授[103]给出了任意三角剖分上任意光滑分片代数曲线的Bezout数的上界估计.在本文第二章，我们通过对一元样条零点个数的讨论，以及对两个分片代数曲线的公共零点的深入分析，利用三角样条和结式方法改进了星形域上Bezout数的估计，进而得到了任意非钝三角剖分上两个分片代数曲线的Bezout数的一个更为精确的上界，并给出了一个便于计算的上界公式.同时还首次讨论了定义在两个不同的三角剖分上的两个分片代数曲线的Bezout数问题。 (2)研究方程组解的状态是方程组理论不可缺少的一环.对于分片多项式方程组的解的研究也同样是代数学理论中很重要的课题.分片多项式方程组的解问题也就是分片代数曲线的交点问题.但是分片多项式的情况复杂多样，与不分片的情况有本质的区别，研究起来也是困难得多，目前对一元多项式实根个数的判定，已有很多成果(1829年由Sturm给出了第一个令人满意的结果).但是对于分片多项式方程组，到现在还没有本质的进展，所以对其做更深入的研究是很有必要的.2002年，王仁宏教授和赖义生[91]给出了在一个三角形区域上两个分片代数曲线的互异实交点个数(在有限情况下)的一个下界估计.他们主要使用了向量域的旋转度方法.但是算法复杂度太高，应用起来也不方便.在本文第三章，我们利用Sturms定理对该算法做了很大的改进，使得新方法简便易行，经济有效.结合Groebner基方法，改进的新算法也可以用来解决高维情形下的问题。 (3)分片代数曲线定义为多元样条零点集合，四色定理是图论中著名的地图着色问题.有趣的是这两个看似毫不相关的概念之间确存在着一些深层的联系.Alfeld指出可以通过改进求解四色问题的技巧来确定样条空间S13(△)的维数[1，51].四色定理最著名的等价命题说：四色定理成立等价于任意的无桥三正则平面图的边是3色可染的.基于此，王仁宏教授和许志强建立了样条和四色定理之间的一个新的联系[103].在本文第四章，根据2000年Davydov等人所给出的任意三角剖分上给定的零点集构成一个S01-二元分片代数曲线的充分必要条件[23]，我们得到了分片代数曲线和四色定理之间的一些新的结论.我们证明了四色定理成立等价于在任意的三角剖分上都存在一条没有奇圈的S01-分片代数曲线.在图论中，任何一个图都定义有相应的邻接矩阵.在第四章中，我们还从邻接矩阵的角度解释了所得到的新结果.并发现，相应于分片代数曲线没有奇圈的性质，所有的无桥三正则平面图的邻接矩阵通过一系列初等变换之后，也都具有一个共同的特征。 (4)由于实际遇到的方程组求根比较困难，人们希望能够不解方程而仅仅根据它的一些简单特征来估计根的个数.众所周知，代数学基本定理说：每个n次复系数多项式在复数域中有且仅有n个根.这个定理在多个变元情形下的推广就是Bezout定理。Bezout定理在复射影空间中严格成立.然而，一般情况下，我们更需要知道一个多项式方程组在仿射空间中的根的个数.BKK定理(即Bernstein定理)及其推广形式很好地解决了这个问题.但是BKK定理只适用于多项式方程组的情形，目前为止没有发现BKK定理在分片多项式上的推广.在本文第五章的第一部分，我们就这个问题针对B样条函数空间作了一些初步的工作，讨论了关于B样条函数的BKK型定理。 每个多元多项式都对应一个确定的凸整多胞形即其牛顿多胞形.而牛顿多胞形包含了该多项式因式的很多信息，所以学习和研究凸整多胞形的可分解性并寻找有效的分解算法是很有意义的.利用多胞形对多项式因式分解的基本思想：给定一个多元多项式，计算其牛顿多胞形；找到牛顿多胞形的所有的整分解因子；则每一个多胞形因子都对应该多形式的一个可能的分解因式，并且这个多胞形因子就是相应的多项式因式的支撑[22].在第五章的第二部分，我们将考虑凸格点多胞形在Minkowski和意义下的整分解(即寻找两个新的凸格点多胞形，使得它们的Minkowski和恰好是给定的格点多胞形).我们把这个问题转化为在一个有限域上寻找一个线性方程组的解的代数问题。并给出了相应的算法，利用这个算法可以得到给定凸整多胞形所有可行的分解方式。 (5)利用多项式插值数据时，需要选取好的节点集来使得误差尽量小.最著名也是应用最广的一类结点是Chebyshev点集，但是Chebyshev点集的多元推广很困难.人们希望能够找到一种类似于Chebyshev点集而且还便于多元推广的点集，这就是Fekete点列和Leja点列.同样的，利用径向基函数处理散乱数据时，如果数据点非常多，为了降低条件数，节省运算成本，我们希望能够用尽量少的数据点得到尽量高的精度.这就是径向基函数插值中心的选取问题.目前这方面的研究工作大都依据径向基函数插值的误差及条件数分析.我们所见到的结论大都是从插值中心的分布入手.但是插值误差还与被插值函数有关系，所以我们认为结点选择应该同时考虑具体的被插值数据.也就是寻找一种依赖数据的自适应选点方法.我们将在本文的第六章简要介绍相关结论以及我们在这方面所做的一些工作。