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组合群论是一门相当年轻的前沿学科,在它萌芽、创始和独立发展的整个发展过程中,希尔伯特的学生戴恩做出了突出贡献。戴恩将19世纪末20世纪初两位最伟大的数学家希尔伯特和庞加莱的思想结合在一起,创立了组合群论这一数学分支。他1910s的工作为组合群论的研究引入重要的研究方法—几何方法—群的图,结束了呈示论在数学中零星乍现的现象,并且提出戴恩问题,激发了组合群论的勃勃生机,推动其百年来的快速发展,这同时也标志着组合群论这门学科的创立。
组合群论和很多数学分支间存在着交叉,尤其是几何学和拓扑学。这一时期组合群论的发展正好印证了学科交叉发展的成果。本文在充分占有文献的基础上,对组合群论的前史、戴恩对组合群论的贡献及其深远影响进行系统地分析和研究。主要结果如下:
1.概述了组合群论的前史—呈示论。在群论抽象化发展的大环境下,在几何学和自守函数论中产生的离散群的沃土中,孕育出了呈示的概念。分析了呈示概念提出的原因的同时,也分析了其之于拓扑学的应用。而且,试图对代克的工作进行深入阐述。
2.探究了群的图这一几何方法的历史,对凯莱和伯恩赛德等数学家曾经提出的类似的概念进行对比。剖析了戴恩问题提出的始末,阐述了基于戴恩问题,通过群的图的研究方法,组合群论取得的进展,不仅是具体的结果,像纽结群研究中取得的成果,也包括方法理论的发展,如小消去理论。这明晰了戴恩工作对组合群论发展的意义。
3.详细阐述了戴恩的生平。这位伟大的数学家在其导师希尔伯特的光环下,并没有得到更多的关注。以其对组合群论的贡献为切入点,分析了其研究思路和思想历程。
4.研究了组合群论的后继研究者之间的学术传承关系,明确了戴恩及其学生在组合群论发展史上的地位。