Ramanujan多项式是Ramanujan在他研究幂级数之逆的时候引入的.在树的Cayley公式的研究中,Shor发现了—个对非恰当边加细的递推关系式.但他没有注意到这一递推关系式和Ramanujan多项式的联系.另一方面,Dumont 和Ramamonjisoa用文法对Ramanujan多项式有关的序列进行研究后,得到和Shor相同的结论.非常巧的是,曾江注意到Shor多项式在对其进行参数替换后可以变成Ramanujan多项式.Shor还发现Ramanujan多项式的一个递归式(它在曾江的参数替换下和Berndt-Evans-Wilson递归式是一致的),并公开寻求其组合证明.在这篇论文的第一章我们给出Shor递归式,或者说是BerndtEvans-Wilson递归式的一个双射证明,从而解决了Shor的公开问题.这样一个双射同时给出了最初由Ramanujan给出的一个递归式的组合解释.加权有向合成图是把加权有向图的每个顶点替换成一个加权有向图而得到的图.我们给出了Kelmans-Pak-Postnikov关于加权有向合成图的树容量的计算公式的一个漂亮的组合证明.我们还得到这个公式的一个加细形式.我们注意到两个对称的q-恒等式,它们是Gasper和Rahman的著作《Basic Hypergeometric Series》(剑桥大学出版社,1990,第241页)中的两个2φ1级数变换公式的特殊形式.我们利用模2图的共轭性给出了这两个q-恒等式以及q-二项式定理的组合证明.更一般地,利用字的模型我们给出一个对称的关于4φ3级数的恒等式的组合证明.这个q-恒等式是著名的q-Pfaff-Saalschiitz恒等式的一个对称推广.我们还给出Jackson的三个q-恒等式的初等证明.它们是Jackson的Dixon公式有限形式的q-模拟,Jackson的Clausen公式的q-模拟,以及这两个公式的一个统一推广.多联骨牌是平面上的顶点为格点的一些正方形区域的连通并集.多联骨牌称为凸的,如果它与任何水平或竖直的直线之交为空或是一条线段.Lin和Chang给出了最小缚住长方形为m×n的多联骨牌的生成函数.Gessel证明了他们的结果表明这样的多联骨牌的个数为(m+n+mn)/(m+n)(2m+2n/2m)-2mn/(m+n)[(m+n)/m]<2>我们证明了这个结果可以从一些与Jacobi多项式的生成函数有关的二项式系数恒等式中推出.我们进一步利用生成函数得到一些双重和二项式系数恒等式.