设图G为简单图,k为正整数.若将图G的顶点集V(G)划分成k个互不相交的顶点集V1,V2….,Vk,称为简单图G的一个k-部划分.若图G的某个k-部划分,满足条件-1≤|Vi|-|Vj|≤1,(i,j∈{1,2,,…,k}),则称V1,V2….,Vk,是图G的一个k-部平衡划分,其中|Vi|(i∈k)表示某个划分的大小即所含顶点个数.本篇学位论文主要讨论k-部划分中比较特殊的平衡二部划分问题,即此时k=2.在文献中,Bollobas和Scott有一个著名的关于平衡二部划分的猜想：对于有m条边和n个顶点的简单图G,若每个顶点的度至少为2,则图G存在一个平衡二部划分[V1,V2],使得max{e(V1),e(V2)}≤m/3.Xu,Yan和Yu在文献中初步证明了当时,图G的最大平衡二部划分满足]max{e(V1),e(V2)}≤e(G)/3.之后,Xu和Yu进一步证明猜想的正确性,并指出三角形K3是唯一极图.Lee,Loh和Sudakov证明了对任意正整数k≥1,每个有m条边的图G,若最小度为2k或2k+1,则图G有平衡二部划分[V1,V2]满足(?)并且他们猜想无穷小的尾数项可以去掉.本篇学位论文延用Xu和Yu在文献中的方法,主要证明了如下结论：设图G是一个最小度不小于4且含m条边和几个项点的简单图.若图G没有二部平衡划分[S,S],使得(?)但任一最小度不小于4且阶数小于n图H都有二部平衡划分[T,T]使得(?) u1,u2,u3,u4为四个4一度点且G[{u1,u2,u3,u4}]=K4,则有(?)除非其结构为图1和图2