KAM理论证明了近可积Hamilton系统多数轨道的动力学稳定性。应用KAM理论于两个自由度的自治系统或一个自由度的时间周期系统，可保证所有轨道都是稳定（沿着轨道作用量不会发生太大的变化）的。 Arnold在其著名的文章［Ar2］中构造了一个具有两个自由度的时间周期的近可积系统，其摄动项非常特殊，以至于足够多的双曲型低维环面得到保存，故用Melnikov方法可构造传递链，沿着传递链，轨道的作用量可发生任意大的改变。虽然他的例子绝非通有，但他仍以此例支持他的猜测［Ar4］，［AKN］：典型的高维近可积Hamilton系统拓扑不稳定。这就是著名的Arnold扩散问题。 自Arnold扩散问题提出以来，大量的优秀数学家投身于此问题的研究，其中以Mather建立Mather理论最为杰出，他为解决Arnold扩散指出了一条光明的道路。程崇庆和严军［ChY1］，［ChY2］由此出发，引入了大量有趣的想法和巧妙的技巧，已经基本解决了先验不稳定情形下的Arnold扩散；Mather也宣布在先验稳定情形取得了重大进展［Mat9］。 用Mather理论来研究Arnold扩散，基本思路是构造不同上同调类的Aubry集之间的连接轨道。这就要求我们要对Aubry集的结构有足够的了解。事实上，Aubry集的结构非常复杂，Mather［Mat10］甚至构造出了商Aubry集等距于闭区间的例子。在本文中，我们将探求Aubry集的结构。 本文研究Aubry集的同宿轨及相关的一些问题。为了叙述方便，我们引入几个记号：我们用？<,c>和？<,c>来表示c上同调类所对应的Mather集和Aubry集，其投影分别记为M<,c>和A<,c>。为了记号简单，当c=0时，我们略去下标。不失一般性，我们假设Mather的α函数和β函数满足α（0）＝β（0）＝0。在Mather集？唯一遍历和A的一阶相对上同调群非平凡的假设下，我们得到了以下三个方面的结果： 1．对？的？<,->半静态同宿轨做了研究，证明了？<,->半静态同宿轨的存在性，并刻划了对于取在A的一阶相对上同调群和α函数的平台的交集的边界上的c，这些？-半静态同宿轨和Aubry集？<,c>之间的联系。这可使我们了解Aubry集随上同调类的变化情况。同时，我们还把Mather的Lipschitz图性质从Aubry集？<,c>推广到了？<,c>和？的某些？-半静态同宿轨的并集上。 2．证明了Aubry集？无穷多条同宿轨的存在性。分两种情形：（1）．不存在孤立的？-半静态同宿轨，此时有无穷多？-半静态同宿轨；（2）．存在孤立的？-半静态同宿轨，此时在其附近Aubry集？有无穷多multi-bump同宿轨。 3．证明了孤立？-半静态同宿轨附近无穷多周期轨的存在性，和2中情形（2）的结果一起，刻划了孤立？-半静态同宿轨附近的混沌行为。