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一致以来，利用子群和商群来刻画有限群的结构是一个热门课题.通过研究正规子群的性质来讨论有限群的结构是群论研究中一个非常重要的课题，在这方面已经取得许多丰富和重要的结果.这里我们讨论其对偶问题，也就是非正规子群的性质对有限群结构的影响.
Rolf Brandl在文[1]中给出了非正规子群共轭的有限群的完全分类，H.Mousavi在文[2]中给出了非正规子群的共轭类类数为2的有限群的完全分类.在其结果中有一些小的错误，陈顺民在文[3]中修正了文[2]的结果，进一步他在文[4]中给出了非正规子群的共轭类类数为3的有限群的完全分类以及非正规子群的共轭类类数为4的有限非幂零群的完全分类.与此同时，非正规子群的个数对有限群结构的影响是另一个研究方向，石化国在文[5]和[6]中给出了恰有2和5个非正规子群的有限群的结构，毛月梅在文[7]中得到了恰有p个相互共轭的非正规子群的有限群的结构.本文继续这方面的研究.
第一部分主要结合非正规子群的共轭类类数为1，2，3的有限幂零群的完全分类，给出了非正规子群的共轭类类数为4的有限幂零群的完全分类.
定理3若G为有限幂零群，v(G)=4，则G同构于如下群之一.
(1)M(pn)×Cq3，其中p，q为互异素数.
(2)M(pn)×Cq×Cr，其中p，q和r为互异素数.
(3)[C4]C4×Cq，其中q为奇素数.
(4)Q16×Cq，其中q为奇素数.
(5)D8×Cq，其中q为奇素数.
(6)M(2n，2)×Cq，其中q为奇素数.
(7)Q32.
(8)[C8]C4.
(9)[C4]C16.
(10)＜a，b，c|a4=1，b8=c，ab=a-1c，c2=1＞.
(11)M(2n)×C2.
第二部分主要结合非正规子群的共轭类类数为1，2，3，4的有限幂零群以及共轭类类数为1，2的有限非幂零群的结果，给出了恰有8个非正规子群的有限群的结构.
定理4若G为有限群，τ(G)=8，则G幂零且G同构于以下群之一.
(1)M(2n)×Cq3，其中q为奇素数.
(2)M(2n)×Co×Cq，其中p,q为互异奇素数
(3)[C4]C4×Cq，其中q为奇素数.
(4)Q16×Cq，其中q为奇素数.
(5)D8×Cq，其中q为奇素数.
(6)M(2n，2)×Cq，其中q为奇素数.
(7)[C4]C16.
(8)＜a，b，c|a4=1，b8=c，ab=a-1c，c2=1＞.
(9)M(2n)×C2.