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自2009年Buckdahn,Djehiche,Li和Peng[1]率先引入平均场倒向随机微分方程(简记为,MFBSDEs),这类方程就倍受关注。他们研究了MFBSDEs和相应偏微分方程(简记为,PDEs)粘性解的关系。 本文主要研究的是一类新型的平均场PDEs的弱解—Sobolev解。与粘性解不同的是Sobolev解的存在唯一性不需要依赖于比较定理的结果,故方程的系数可以依赖于(z)。本文主要研究的方程形式如下: 平均场SDE:Xt,xs=x+∫s t b(r,E[G(X0,x0 r,)],Xt,x r)dr+∫s tσ(r,E[θ(X0,x0 r)],Xt,x r)dWr,(1)平均场BSDE:Yt,x s=Φ(E[κ(X0,x0 T)],Xt,x T)-∫T s Zt,x r dWr+∫T s f(r,E[Ψ(X0,x0 r)],Xt,x r,E[Λ(Y0,x0 r)],Yt,x r,E[Γ(Z0,x0 r)],Zt,x r)dr,(2)以及新型平均场PDE:{(a)/(a)t u(t,x)+(L)u(t,x)+(f)(t,x,u,Dσu)=0u(T,x)=Φ(E[κ(X0,x0 T)],x),(t,x)∈[0,T]×Rn.(3) 第一部分:主要的假设条件有: 假设3.1: (A1)(i)函数b和σ关于(x),x满足Lipschitz条件。 (ii) b(·,0,0)和σ(·,0,0)是F-循序可测连续函数且存在常数l>0,使得对任意的0≤t≤T,(x),x∈Rd,|b(t,(x),x)|+|σ(t,(x),x)|≤l(1+|x|),a.s. (A2)(i)Φ是F(x)B(Rd)-可测随机变量,f(·,(x),x,(y),y,(z),z)是F-适应的可测过程,对任意的((x),x,(y),y,(z),z)∈Rd×Rd×Rn×Rn×Rn×d×Rn×d成立。且f(t,(x),x,0,0,0,0)∈H2F(0,T;Rn)。 (ii)f关于(x),x,(y),y,(z),z满足Lipschitz条件。 (iii)f和Φ满足线性增长条件,也就是说,存在c>0,使得a.s.对任意的(x),x∈Rd,|f(t,(x),x,0,0,0,0)|+|Φ((x),x)|≤c(1+|(x)|+|x|). (iv)G,θ,Ψ,κ:Rd→Rd.Λ:Rd→Rd,Γ:Rn×d→Rn×d的Lipschitz连续函数。 (A3)给定((x),(y),(z))∈Rd×Rn×Rn×d,对任意的s∈[0,T],(x,y,z)→f(s,(x),x,(y),y,(z),z)∈C,3,3b(Rd×Rn×Rn×d,Rn). (A4)b∈C1,3,3 b([0,T]×Rd×Rd,Rd)且σ∈C1,3,3 b([0,T]×Rd×Rd,Rd×d)。 同时,我们给出值函数的定义为u(t,x)=Yt,x t。那么,在假设3.1下,平均场PDE (3)存在唯一解,且满足以下关系式Yt,x s=u(s,Xt,x s),Zt,x s=Dxu(s,Xt,x s)σ(s,E[θ(X0,x0 s)],Xt,x s). 借助随机逆流、等价范数及测试函数,最终我们可以得到在假设3.1-(A2),(A4)下,u(t,x)=Yt,x t是平均场PDE(3)的唯一Sobolev解。 第二部分:第一,我们研究的是以下假设4.1条件成立的情况下,带全局单调系数的MFBSDE(2)解的存在唯一性定理。 假设4.1: (H1)对任意固定的(ω,t),f(ω,t,.,.,.,.)连续; (H2)存在一过程(f)t∈H2 F(0,T;R)和一个常数L>0,使得|f(t,(y),(z),y,z)|≤(f)t+L(|(y)|+|(z)|+|y|+|z|). (H3)存在常数λ1,λ2∈R,使得对任意的t∈[0,T,yi,(y)i∈Rn,z,(z)∈Rn×d(i=1,2),(y1-y2)(f(t,(y)1,y1,(z),z)-f(t,(y)2,y2,(z),z))≤λ1(y1-y2)((y)1-(y)2)+λ2|y1-y2|2. (H4)存在L>0,使得P-a.s.对任意的t∈[0,T],y,y∈Rn,zi,(z)i∈Rn×d(i=1,2),|f(t,(y),y,(z)1,z1)-f(t,(y),y,(z)2,z2)|2≤L(|(z)1-(z)2|2+|z1-z2|2). 第二,我们研究的是带局部单调系数的MFBSDE(2)解的存在性和唯一性,假定如下条件成立, 假设4.2: (H2)存在L>0和0≤γ≤1,使得|f(t,(y),(z),y,z)|≤L(1+|(y)|γ+|(z)|γ+|y|γ+|z|γ). (H3)对任意的N∈N,存在常数λN,(λ)N∈R,使得对任意的t∈[0,T],yi,(y)i∈Rn,z,(z)∈Rn×d满足|yi|,|(y)i|,|z|,|(z)|≤N(i=1,2),有(y1-y2)(f(t,(y)1,y1,(z),z)-f(t,(y)2,y2,(z),z))≤λN(y1-y2)((y)1-(y)2)+(λ)N|y1-y2|2. (H4)对任意的N∈N,存在LN>0,使得P-a.s.对任意的t∈[0,T],y,(y)∈Rn,zi,(z)i∈Rn×d满足|yi|,|(y)i|,|z|,|(z)|≤N(i=1,2),成立|f(t,(y),y,(z)1,z1)-f(t,(y),y,(z)2,z2)|2≤LN(|(z)1-(z)2|2+|z1-z2|2). 那么,我们可以得到在假设4.1-(H1)和假设4.2成立的情况下,且满足1+ exp(2L+2|λN|+2(λ)+N+2LNθ-1+2)/N2(1-γ)→0,当N→∞时,(4) 其中θ是一个任意固定的常数,使得0<θ<1-2α。带局部单调系数的MFBSDE(2)有唯一解(Y,Z)。 第三:在前面的结论成立的情形下,我们可以开始研究相应平均场PDE(3)的Sobolev解的存在唯一性。首先,我们可以得到在以下假设下: 假设4.3: (B1)b,σ满足假设3.1-(A1),(A4)。 (B2)f,Φ满足假设3.1-(A2)-(i)(iii),以及假设3.1-(A2)-(iv)成立,Φ∈L2(Rd,ρ(x)dx)。 (B3)对任意的0≤t≤T,(x)1,(x)2,x1,x2∈Rn,(y),(y)1,(y)2,y,y1,y2∈Rn,(z),(z)1,(z)2,z,z1,z2∈Rn×d,存在C>0,λ1,λ2∈R,使得|Φ((x)1,x1)-Φ((x)2,x2)|2+|f(t,(x)1,x1,(y),y,(z)1,z1)-f(t,(x)2,x2,(y),y,(z)2,z2)|2≤C(|(x)1-(x)2|2+|x1-x2|2+|(z)1-(z)|2+|z1-z2|2).(y1-y2)(f(t,(x)1,x1,(y)1,y1,(z),z)-f(t,(x)2,x2,(y)2,y2,(z),z))≤λ1((y)1-(y)2)(y1-y2)+λ2|y1-y2|2. (B4)|f(t,(x),x,(y),y,(z),z)|≤|f(t,(x),x,0,0,0,0)|+K(|(y)|+|y|+|(z)|+|z|),f(t,(x),x,0,0,0,0)∈L2(Rd,ρ(x)dx)且满足线性增长。 值函数u(t,x):=Yt,x t是带全局单调系数的平均场PDE(3)的唯一Sobolev解。 接着我们也可以得到在局部单调性的假设下平均场PDE的Sobolev解的存在唯一性定理的结论。相应的局部单调性假设,如下: 假设4.4: (B3)对任意的N∈N,存在LN>0,λN,(λ)N∈R,使得对(x)1,x1,(x)2,x2∈Rd,(y)1,y1,(y)2,y2∈Rn,(z)1,z1,(z)2,z2∈Rn×d,满足|(y)1|,|y1|,|(y)2|,|y2|,|(z)1|,|z1|,|(z)2|,|z2|≤N,成立|Φ((x)1,x1)-Φ((x)2,x2)|2+|f(t,(x)1,x1,(y)1,y1,(z)1,z1)-f(t,(x)2,x2,(y)1,y1,(z)2,z2)|2≤LN(|(x)1-(x)2|2+|x1-x2|2+|(z)1-(z)2|2+|z1-z2|2),(y1-y2)(f(t,(x)1,x1,(y)1,y1,(z)1,z1)-f(t,(x)1,x1,(y)2,y2,(z)1,z1))≤λN(y1-y2)((y)1-(y)2)+(λ)N|y1-y2|2. (B4)存在K>0和0≤γ≤1,使得|f(t,(x),x,(y),y,(z),z)|≤K(1+|(y)|γ+|(z)|γ+|y|γ+|z|γ),对任意的t,(x),x,(y),y,(z),z 于是,我们就可以得到在假设4.3-(B1),(B2),假设4.4和(4)式成立的条件下,带局部单调系数的平均场PDE(3)式存在唯一的Sobolev解。