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本篇博士论文主要包括三方面的内容:一是随机微分方程的数值解，给出了随机微分方程的一种新的数值解法:用跳过程近似原来的扩散过程.二是给出了一维扩散过程在W1,d度量下指数收敛的充分条件.三是研究图上马氏过程的Ricci曲率下界和指数收敛性，给出了图上的马氏算子由其最优耦合算子刻画的Ricci曲率下界以及转移半群在W1度量下指数收敛的充分条件.文章的安排如下: 在第一章中对论文做一个总体的的介绍.对于所研究的问题，介绍问题的起源，已知结果和方法，给出我们的主要结果，指出主要困难并给出证明思路.这一章主要为了方便读者而编写 第二章主要介绍Rd上的随机微分方程:dXt=σ(Xt)dBt+b(Xt)dt的一种新的数值逼近方法.在不要求随机微分方程的系数满足线性增长的条件下，构造了一种跳过程X（δ)去近似原方程的解.在假设某种Lyapunov函数条件成立的情况下证明了在有限时间的轨道函数空间D（[0，T]，Rd）上构造的跳过程依分布收敛到原来的扩散过程.如果假设原方程存在唯一不变概率测度，还证明了跳过程的不变概率测度弱收敛到该唯一不变测度.最后给出了利用跳过程的经验平均近似不变测度的速度，推广了Mattingly,Stuart和Tretyakov关于（紧）圆环上的Euler-Maruyama算法的结果. 第三章的内容是一维扩散过程的转移半群在Wasserstein距离下的指数收敛性.在这一章的主要定理中给出了转移半群指数收敛的充分条件，并且给出了收敛速度中常数的精确估计，而且还通过一些常见的例子阐明了定理中给出的常数的精确性以及我们的定理可以适用于Bakry-Emerys曲率无下界的情况. 第四章研究的是图上面马氏过程的Ricci曲率下界以及指数收敛性.证明了Ollivier定义的Ricci曲率下界可以通过某种最优耦合生成算子来刻画，从而给出曲率下界的生成算子型判别准则.通过与生灭过程比较得到了扩散过程关于Wasserstein距离W1的指数收敛性.对于关于图距离的Ricci曲率下界非负的Laplace算子，得到了其谱隙的钟家庆-杨洪苍估计.另外还提供了一种刻画Ricci曲率下界的Lyapunov函数方法.本章最后一节的内容是高维乘积图上的Gibbs抽样和Glauber动力系统的曲率下界和指数收敛速度估计。