【摘 要】
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图论作为现代数学的重要分支,在科学发展和现实应用中都发挥着重要的作用。图的不变量是图论中经典的研究对象。近几十年来,学者们开始对图的组合矩阵的行列式、特征值等不变量进行深入探索,利用代数方法来研究图的组合性质,得到了许多重要的成果。本文主要针对几类图,研究相关组合矩阵广义逆的极小范数。本文的具体研究内容如下:首先,研究与有向树关联矩阵相关的不变量。基于有向树关联矩阵左逆和Moore-Penrose
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图论作为现代数学的重要分支,在科学发展和现实应用中都发挥着重要的作用。图的不变量是图论中经典的研究对象。近几十年来,学者们开始对图的组合矩阵的行列式、特征值等不变量进行深入探索,利用代数方法来研究图的组合性质,得到了许多重要的成果。本文主要针对几类图,研究相关组合矩阵广义逆的极小范数。本文的具体研究内容如下:首先,研究与有向树关联矩阵相关的不变量。基于有向树关联矩阵左逆和Moore-Penrose逆的组合表示,分别给出关联矩阵广义逆的极小无穷范数和极小1范数,以及关联矩阵Moore-Penrose逆的无穷范数和1范数的刻画,同时给出这些不变量的计算公式。然后,研究与非二分连通图正规化无符号关联矩阵相关的不变量。利用Hahn-Banach定理,给出非二分连通图正规化无符号无穷拉普拉斯算子的最小特征值的广义逆极小范数刻画。此外,以一类非二分的双圈图为例,计算该不变量。其次,研究与欧拉有向图拉普拉斯矩阵相关的不变量。在欧拉有向图上定义一种新的不变量——Delta不变量,通过适当选取范数,给出该不变量的刻画,其中一种刻画与图的平衡顶点割相关,进一步给出计算该不变量和寻找最优平衡顶点割的算法,并且举例说明Delta不变量可以区分某些拉普拉斯矩阵特征值相同的图。最后,研究与单边仿射Dynkin图的加权拉普拉斯矩阵相关的不变量。针对单边仿射Dynkin图,通过构造其加权拉普拉斯矩阵的极小范数广义逆和给出适当的顶点赋值,得到其加权拉普拉斯矩阵广义逆极小无穷范数的等价刻画,并且计算此不变量。
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