分段光滑系统具有很强的实际应用背景,在工程科学包括控制领域都有广泛应用,其相关研究具有重要的理论意义。本文主要研究两个方面的问题,首先,讨论了二维分段线性系统的Markus-Yamabe猜想问题。在二维情形下,光滑向量场的Markus-Yamabe猜想的正确性已经被证明。当系统条件由光滑减弱为分段光滑时,猜想是否依然成立以及成立的条件是什么是第一部分的研究内容。其次,讨论了饱和控制系统的原点吸引域边界的问题。作为一类比较特殊而又非常典型的分段线性系统,带有饱和状态反馈的三维反稳定控制系统,其原点吸引域的几何结构比较复杂,研究难度相当大,没有较为系统的理论结果,本文在第二部分针对相关问题进行讨论。本论文的主要创新性成果如下:（1）研究了一类具有包含奇点的单直线切换边界、每一子系统都具有渐近稳定性的二维不连续分段线性系统,得到了极限环存在和Markus-Yamabe猜想成立的显式参数条件。其次,证明对于有单直线切换边界、每个子系统都是具有渐近稳定性的二维连续分段线性系统,Markus-Yamabe猜想是成立的,即该系统有一个全局渐近稳定的平衡点。（2）进一步研究二维不连续分段线性系统单直线切换边界上不包含奇点的情况,得到了类似的结论,从而为Markus-Yamabe猜想提供了更多的反例。特别地,对于由n条平行直线作为切换边界、每个子系统都是具有渐近稳定性的二维连续分段线性系统,证明了全局渐近稳定平衡点的存在性,即在这种情况下Markus-Yamabe猜想仍然成立。（3）针对反稳定线性系统,研究了由饱和线性状态反馈所诱导的一类三维分段线性系统,证明了除原点之外的平衡点均位于原点吸引域的边界上,这有力地支持了原点的吸引域边界与球面同胚的猜测。其次,给出了吸引域边界与球面同胚的一些必要条件。