非常规超导和材料中的拓扑是当前凝聚态物理中非常具吸引力的两个领域。自其被发现以来，非常规超导的微观配对机制就是凝聚态物理中最大的挑战之一。正确的理解非常规超导的微观图像，对于发现和设计室温超导体具有非常重要的意义。反过来说，基于现有的认识如果可以发现或者设计出新的非常规超导体，也有助于得到非常规超导的微观原理。另一个方面，材料中拓扑态的发现极大地拓展了人们对于物相和相变理论的认知。不同于传统的朗道相变理论，拓扑相变中并不伴随对称性的变化。寻找新的拓扑材料对于丰富我们的理论认识和实际应用具有重要的意义。本论文的工作主要包括两个方面:一是基于对现有非常规超导体的理解，预测BaCoSO可能是一类新的非常规超导体;另外一个是，系统的研究了一类具有ZrBeSi结构的拓扑材料。　　对于BaCoSO，基于第一性原理给出的能带结构，分别利用强关联和弱关联的方法计算了其可能的超导基态的配对对称性。发现，在费米能及附近，能带的主要贡献来自于Co的三条t2g轨道。尽管BaCoSO不具有C4旋转对称性，但是其能隙函数在费米面上的分布仍然具有类似于d波配对对称性的特点。对于t2g的三条轨道来说，它们的能隙函数非常不同:dxz和dyz轨道的能隙函数具有d波的特点，而dx2-y2轨道的能隙函数具有s波的特点。以上关于配对对称性的结果，对于掺杂浓度的依赖并不敏感。另外，费米面上的能隙大小的分布，在强关联和弱关联的结果中具有很大的不同。因此，BaCoSO可以作为一个很好的平台来验证非常规超导的原理，而且如果实验上能够证实BaCoSO可以超导，这将非常有利于正确的理解非常规超导的微观机制。　　在拓扑态这一方面，首先，研究了一个具有时间反演对称性的无自旋模型，该模型可以实现含有四外尔点和八外尔点的拓扑外尔半金属相，另外还发现在不同对称性下，该模型中的拓扑绝缘相可由弯曲布里渊区中的镜面陈数来表征。其次，系统地研究了一类具有ZrBeSi结构的拓扑材料，主要包括KZnP，BaAgAs，NaAuTe和KHgSb。发现，在这一类材料中，可以实现各种不同的拓扑绝缘相和拓扑半金属相。其中，不同拓扑相的实现是几个比较重要的能量尺度之间竞争的结果，这些能量尺度包括:原子轨道的能量，晶格场劈裂的能量，成键态和反键态的能量差以及自旋轨道耦合的强度。由于这一类体系中不同拓扑态的实现，具有比较清晰的物理图像，这对指导在这类体系中寻找和调制不同拓扑相具有重要意义。