【摘 要】
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椭圆型偏微分方程是一类重要的偏微分方程,它在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有着广泛的应用。但由于其精确解很难求得,因此寻找数值解法就显得尤为重要。
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椭圆型偏微分方程是一类重要的偏微分方程,它在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有着广泛的应用。但由于其精确解很难求得,因此寻找数值解法就显得尤为重要。本文主要以椭圆型方程为研究背景,结合有限差分法和Krylov子空间方法(BICGSTAB、 CG、GMRES和LSQR)以及谱方法(重心插值配点法和Chebyshev谱方法),对椭圆型偏微分问题的数值解进行了深入分析和研究。主要研究工作如下:(1)在对偏微分方程背景、意义及国内外研究现状分析的基础上,重点分析椭圆型方程边界问题的研究现状及研究意义;(2)以有限差分法为基础,将其离散为线性方程组,基于Krylov子空间,分别用BICGSTAB算法、CG算法、GMRES算法和LSQR算法对其进行数值模拟并对结果进行了比较分析。(3)以谱方法为基础,研究了重心插值配点法和Chebyshev谱方法,将其应用于一类变系数椭圆型偏微分方程求解中,并给出了数值模拟。(4)对几种方法的求解精度和误差进行了分析,结果表明:Krylov子空间方法容易计算,但求解精度不高;谱方法在等距节点数较大时,求解精度不佳,在切比雪夫点上求解精度很高,但不能求任意点的值。为此利用预处理技术和插值方法进行改进,效果较好。
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