【摘 要】
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非线性偏微分方程的高效数值方法研究一直是计算数学领域的热点之一.本论文旨在深入系统的研究几类具有重要物理背景的非线性发展型偏微分方程（组）,诸如非线性Benjamin-Bona-Mahoney（BBM）方程、非线性抛物方程、非线性Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程、非线性热离子方程（包括时间整数阶、时间分数阶类型）的有限元方法.对上述方程（组）分别选择了合适的有限单元并构造了
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非线性偏微分方程的高效数值方法研究一直是计算数学领域的热点之一.本论文旨在深入系统的研究几类具有重要物理背景的非线性发展型偏微分方程（组）,诸如非线性Benjamin-Bona-Mahoney（BBM）方程、非线性抛物方程、非线性Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程、非线性热离子方程（包括时间整数阶、时间分数阶类型）的有限元方法.对上述方程（组）分别选择了合适的有限单元并构造了不同高精度数值逼近格式或算法,如Galerkin有限元方法、混合有限元元方法、H1-Galerkin混合有限元元方法、间断有限元方法、二重网格有限元算法等.通过采用新的分析途径及更精细的估计技巧,给出了相应的超逼近及超收敛结果.主要创新性工作体现在:（1）对非线性BBM方程,分别利用类Wilson元、双线性元和零阶Raviart-Thomas（R-T）元、非协调带约束的旋转Q1（CNQ1rot）元和分片常数Q0 × Q0元提出了Galerkin有限元方法、H1-Galerkin混合元方法、二重网格算法三种有限元逼近格式.利用单元的特殊性质和新的分析技巧,对所考虑的半离散及全离散格式,均导出了在对空间剖分参数h和时间步长τ无网格比约束下的超逼近及超收敛结果.（2）对非线性抛物方程,构造了非协调Wilson元的一种新的间断有限元方法.讨论了半离散格式、线性化的Euler和BDF2全离散格式的收敛性,得到了新模意义下的O（h2）阶的最优误差估计,改善了传统有限元分析中经典能量模最优误差估计为O（h）阶的结论.（3）对于非线性PNP方程,耦合项P1▽ψ和P2▽ψ中静电势ψ的梯度的出现导致了以往研究有两大不足:一是只得到了离子浓度p1,p2的L2-范数意义下不丰满的误差估计,二是为了得到双线性元在矩形网格下的高精度估计,对解ψ的光滑度要求很强(属于H3（Ω）∩W2,∞（Ω）.我们重点讨论了协调三角形线性元和非协调扩展旋转Q1（EQ1rot）元对该方程组的应用,在对ψ仅要求属于H3（Ω）的情况下,利用高精度分析技巧和不同于以往的新思路,分别给出了半离散格式和全离散格式的超逼近和超收敛结果.在此我们克服了以上两点不足,为探讨其他高效方法提供了借鉴.（4）对非线性热离子方程（包括时间整数阶、时间分数阶类型）,与以往文献中只有最优误差估计以及关于矩形双线性元的超收敛分析不同,通过巧妙地使用线性元在均匀三角形网格下的合并大单元上的平均值和积分恒等式技巧、新的证明思路和途径,克服了耦合项δ（u）|▽φ|2所带来的困难,并在降低光滑度要求φ属于H3（Ω）而不是H3（Ω）∩W2,∞（Ω）以及u属于H3（Ω）而不是H4（Ω）的前提下,得到了温度u和电势φ在能量模意义下的超逼近和超收敛结果.从而弥补了以往研究的不足.值得说明的是:对每一部分所涉及的半离散和全离散逼近格式均进行了具体的数值实验,验证了理论分析的正确性以及所提出的方法的有效性.
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