孪生素数猜想是素数分布研究的重要问题。数百年来，吸引了无数优秀数学家的关注。如今，尽管这个猜想还没有证明，但是围绕这个猜想，近年来得到了许多新的进展。　　孪生素数猜想是说，存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数。1921年，英国数学家Hardy和Littlewood[1]提出了圆法，给出了关于孪生素数更精确的猜测，即＃{n≤x:n，n+2prime}～Cx/(log x)2，C=2Πp＞2(1-1/(p-1)2).许多数学家对该问题进行了研究。研究孪生素数猜想的一个基本想法，就是考虑相邻素数间的距离。一个弱版本的猜想是说，存在一个常数C0＞0，存在无穷多对素数对pn和pn+1，其中pn是第n个素数，pn+1是第n+1个素数，满足pn+1-pn≤C0.如果能证明C0=2，那么孪生素数猜想就解决了。2005年，三个数学家Goldston，Pintz和Yildirim[2]在孪生素数猜想这个问题上取得重大突破，他们提出GPY筛法，并且应用此筛法得到了相邻素数间的距离的新结果。不过，他们证明的距离是log n的一个方幂。2013年，华人数学家张益唐[3]改进了他们的方法，得到了实质性的突破，证明了相邻两个素数间的距离的下极限小于等于7000万。也就是说C0可以取70000000。2014年，Maynard[4]改进了GPY筛法，并且将张益唐的结果改进到600。Maynard的方法与张益唐的方法不同，他引入了一个新思想，把问题最终归结为一个变分问题，通过对这一变分问题进行了数值计算逼近，得到了M5＞1417255/70816。假设Elliott-Halberstam猜想中的θ可以取到141632/1417255+ε，那么，C0可以取12。2014年，由一批数学家组成的POLYMATH[5]小组，对这个问题进行了细致的讨论，得到了目前最好的结果:C0可以取246。　　本文进一步研究Maynard所提出的变分问题，首先给出了M5＞1661/830。这是一个更好的下界估计，运用此结果，并结合Maynard[4]中筛法的工作，假设Elliott-Halberstam猜想中的θ可以取1660/1661+ε，那么C0=12。除此之外，本文证明了这个变分问题在连续函数类上的最大值的对应函数一定满足一个线性积分方程，也就是将原来的非线性泛函问题转化为线性算子的特征值问题（见定理1.2）。最后，考虑了在区间[N，2N）中，有多少个自然数n，使得n，n+2，n+6，n+8，n+12中至少有两个素数。给出了这个素数分布问题的一个下界估计。