论文部分内容阅读
全文共分三章：
第一章，主要介绍了独立同分布随机场变量的Marcinkiewicz-Zygmund强收敛性.Smythe(1973)研究了独立同分布γ维随机变量矩阵的强大数律，证明了如下的定理：
定理A设{X，X(n)；(n)∈Nd}是i.i.d.随机场，且EX=0.如果E｜X｜·(1og+｜X｜)d-1＜∞(1)成立，则∑-i≤(n)X-i/|(n)|→0a.s.((n)→∞(2)反之，如果式(2)成立，则有式(1)成立.AllanGut(1978)则讨论了当0＜r＜2时，∑-i≤(n)Xi/|(n)|1/r的收敛行为以及它的收敛速度.在第一章的第二节中，我们讨论了当加权矩阵{a(n)-i}对某个α＞0满足Aα=limsupAα,(n)＜∞,Aαα,(n)=1/|(n)|∑i≤(n)｜a(n)-i｜α(3)时，对独立同分布随机场变量有下面的定理成立.定理1设{X，X(n)；(n)∈Nd)是i.i.d.随机场变量，满足EX=0，且E{｜X｜β/(1+β(1/γ-1))(log+｜X｜)d-1}＜∞,(4)对于0＜r＜1，1＜α，β＜∞，1/α+1/β=1，式(3)成立.则∑-i≤(n)a-i(n)X-i/|(n)|1/γ→0a.s.(5)反之，对有如上关系的α，β，r，若式(5)对任何满足式(3)的系数矩阵都成立，则有式(4)成立.
定理2设{X，X(n)；(n)∈Nd}是i.i.d.随机场变量，满足EX=0,E{｜X｜β(log+｜X｜)d-1}＜∞,(6)且对于1＜α，β＜∞，1/α+1/β=1/γ，1≤γ＜2，式(3)成立.则∑-i≤(n)a-i(n)X-i/|(n)|1/γ→0a.s.(7)反之，对有如上关系的α，β，r，若式(7)对任何满足式(3)的系数矩阵都成立，则有式(6)成立.更进一步，我们考虑随机场变量的矩生成函数存在情形.假定对某个h＞0，γ＞0，E[exp(h｜X｜γ)]＜∞，(8)我们有下面的定理，定理3设{X，X(n)；(n)∈Nd}是满足式(8)的i.i.d.随机场变量，且式(3)对于α∈(0，2]成立，则(i)若0＜α≤1且b(n)=｜(n)｜1/αlog1/γ｜(n)｜，贝limsup(n)→∞｜∑-i≤(n)a-i(n)Xi｜/b(n)≤Aα/ha.s.;(9)(ii)若1＜α≤2，EX=0，如果0＜γ≤1且b(n)=｜(n)｜1/α(1og｜(n)｜)1/γ+θ(θ＞0)，贝|∑-i≤(n)a-i(n)X-i|/b(n)→0a.s.(10)如果γ＞1且b(n)=｜n｜1/α(log｜(n)｜)γ+δ+θ(θ＞0),δ=1-1/γ-γ-1/1，贝|∑-i≤(n)a-i(n)X-i|/b(n)→0a.s.;(11)反之，对于0＜α≤1，若式(9)对任何满足式(3)的系数矩阵都成立，则对所有0＜h/＜h，E[exp(h｜X｜γ)]＜∞.
定理3是对定理1与定理2精致的改进.
第二章的内容是关于NA随机变量序列的强收敛性，主要讨论了当NA随机变量序列的矩生成函数存在时加权和的强大数律，即定理
定理4设{Xn；n≥1}是同分布均值为0的NA随机变量序列，其分布函数为F(x)，且对任意的h＞0，γ＞0，有E[exp(h｜X1｜γ)]＜∞，(12)令{ani；1≤i≤n，n≥1}是常数矩阵，满足Aα=limsupn→∞Aα,n＜∞,Aαα,n=∑ni=1｜ani｜α/n(1＜α≤2),(13)则对0＜γ≤1和bn=n1/αlog1/γn，有n∑i=1ani/bnXi→0a.s.(14)对γ＞1和bn=n1/α(1ogn)1/γ+δ，有n∑i=1ani/bnXi→0a.s(15)其中δ=1-1-1/γ-γ-1/1+αγ+α.
在第三章中，讨论了行NA随机变量阵列的完全收敛性.本文称随机变量阵列{Xni；1≤i≤n，n≥1}被随机变量X弱均值所界，如果对某个γ＞0和所有的x＞0与n≥1有1/nn∑i=1(｜Xni｜＞x)≤γP(｜X｜＞x)forallx＞0andalln.(16)首先是Gut(1992)证明了行独立随机变量阵列在弱均值所界的条件下的完全收敛性，定理B令{Xni；1≤i≤n，n≥1}是满足E｜Xni｜＜∞，EXni=0(1≤i≤n，n≥1)(17)的行独立的随机变量阵列，且为随机变量X弱均值所界.对某个0＜p＜2，E｜X｜2p＜∞.令Sn=∑ni=1Xni.则对任意的ε＞0，有∑P(｜Sn｜＞n1/pε)＜∞forallε＞0.(18)第三章在弱均值所界的条件下，讨论了行NA随机变量阵列的完全收敛性.
定理5令{Xni；1≤i≤n，n≥1}是满足式(17)的行NA随机变量阵列，且为随机变量X弱均值所界.对某个p≥1，E｜X｜2p＜∞.令Sn=∑ni=1Xni.(i)当1≤p＜2时，若∞∑n=11/nn∑i=1E|Xni｜p＜∞,(19)则对任意的ε＞0，有∑P(｜Sn｜＞n1/pε)＜∞；(20)(ii)当p＞2时，若式(19)成立，且∞∑n=11/n(n∑i=1E｜Xni｜2)p/2＜∞,(21)则式(20)成立.